多項式的微積分

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先備練習[编辑]

  1. 將 (1+1) 從一次方乘到四次
  2. 將 (x+1) 從一次方乘到四次
  3. 將 (a+b) 從一次方乘到四次
  • 多項式
    1. 係數
  • 楊輝三角形: 展开的系数 PascalTriangleAnimated2.gif

切線斜率、微分、導數[编辑]

,則函數 點切線斜率、微分、導數、 都代表同一個意思。

一元多次方程式的微分[编辑]

微分的方法[编辑]

y=ƒ(x):

  • 單項式的 ƒ'(x)
    1. axn 對 x 的微分為 anxn-1 ,請證明
    2. n 為 0 (即常數),則微分為 0。因為微分代表「變化」,常數沒有變化。
    3. 除 0 之外,n 不管是正數或負數、整數或非整數都成立,
  • 多項式的 ƒ'(x)
    1. 每個單項皆微分
    2. 常數項微分為 0
  • 微分之應用問題
  • 更多例題

與微分的相關的性質[编辑]

  • 極限存在,它的左右極限存在且相等。
  • 函數在一點可導的條件是:函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。
  • dy=ƒ'(x) dx 即 ƒ'(x) 曲線與 軸所夾的微小面積。
長條面積總和
Riemann Integration and Darboux Upper Sums.gif
函數 y = x2 的上長條總和
Riemann Integration and Darboux Lower Sums.gif
函數 y = x2 的下長條總和
  • 原函數 ƒ(x)=0 時,x 值稱為方程式的根。此處為函數圖形與 軸之交點。
  • 函數 ƒ(x) 與其導數函數 ƒ'(x) 的關係:
    1. 函數的轉彎處 → 斜率為 0,ƒ'(x) 為 0 處,ƒ(x) 有極大值或極小值,斜率由正轉負時有極大值,斜率由負轉正時有極小值。
    2. 一系列的函數 ƒ(x) + C ,有相同的導函數 ƒ'(x) 。

求導法則[编辑]

適用所有可微分的方程式。

法則表示式簡記口訣
常數微分常數'=0常數微分為零
常係數微分(Cƒ(x))'=Cƒ'(x)常係數可提出
乘積法則(fg)'=f'g+fg'前導後不導
+前不導後導
鏈式法則分子分母同乘d(g(x))

多項式的圖形[编辑]

  1. 零次:Polynomialdeg0.svgMplwp polynomialdeg0.svg
  2. 一次:Polynomialdeg1.svgMplwp polynomialdeg1.svg
  3. 二次:Polynomialdeg 2.svgMplwp polynomialdeg2.svg更多拋物線圖形
  4. 三次:Polynomialdeg3.svgMplwp polynomialdeg3.svg
  5. 四次:Polynomialdeg4.svgMplwp polynomialdeg4.svg
  6. 五次:Polynomialdeg5.svgMplwp polynomialdeg5.svg

一元二次方程式的配方法[编辑]

由乘法公式 ,可以對任意一元二次方程式 進行配方,而以上的公式解也是由配方法推導出來的,推導過程如下:

推導過程一:求函數值[编辑]

函數值與圖形的關係[编辑]
  1. 時右側斜向上,拋物線開口向上Parabola.svg,有極小值
  2. 時右側斜向下,拋物線開口向下Inverted parabola.svg,有極大值
  3. 時有極大值或極小值
  4. (即圖形交 )時為兩根

推導過程二:求根[编辑]

根與係數的關係[编辑]

設一元二次方程式 的解為 ,則有以下關係式:

這兩個公式由設 為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出。

基本例題[编辑]

Crystal Clear action edit

答案

Crystal Clear Password

1.

2.

3.

  • (重根)


配方法的圖解[编辑]

Completing the square.gif


令 a=1,C=-c
Completing the square 2.svg