多項式的微積分

先備練習

1. 將 (1+1) 從一次方乘到四次
2. 將 (x+1) 從一次方乘到四次
3. 將 (a+b) 從一次方乘到四次

• 多項式
  1. 項
  2. 係數
  3. 次
  4. 元
• 楊輝三角形：$\left(a+b\right)^{n}$ 展開的係數

切線斜率、微分、導數

設 $y=f(x)$，則函數 $f$在 $a$點切線斜率、微分、導數、$f'(a)$、${\frac {dy}{dx}}$、${\frac {d\,f(x)}{dx}}$、${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$、$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$ 都代表同一個意思。

一元多次方程式的微分

微分的方法

y=ƒ(x)：

• 單項式的 ƒ'(x)

  $f(x)=ax^{n}$

  $f'(x)=anx^{n-1}$

  1. axⁿ 對 x 的微分為 anx^n-1 ，請證明
  2. n 為 0 (即常數)，則微分為 0。因為微分代表「變化」，常數沒有變化。
  3. 除 0 之外，n 不管是正數或負數、整數或非整數都成立，
• 多項式的 ƒ'(x)
  1. 每個單項皆微分
  2. 常數項微分為 0
• 微分之應用問題
• 更多例題

與微分的相關的性質

• 極限存在，它的左右極限存在且相等。
• 函數在一點可導的條件是：函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。
• dy=ƒ'(x) dx 即 ƒ'(x) 曲線與 $x$ 軸所夾的微小面積。

長條面積總和

函數 y = x² 的上長條總和

函數 y = x² 的下長條總和

• 原函數 ƒ(x)=0 時，x 值稱為方程式的根。此處為函數圖形與 $x$ 軸之交點。
• 函數 ƒ(x) 與其導數函數 ƒ'(x) 的關係：
  1. 函數的轉彎處 → 斜率為 0，ƒ'(x) 為 0 處，ƒ(x) 有極大值或極小值，斜率由正轉負時有極大值，斜率由負轉正時有極小值。
  2. 一系列的函數 ƒ(x) + C ，有相同的導函數 ƒ'(x) 。

求導法則

適用所有可微分的方程式。

法則	表示式	簡記	口訣
常數微分	${\frac {d\,C}{dx}}=0$	常數'=0	常數微分為零
常係數微分	${\frac {d\,(C\times f(x))}{dx}}=C\times {\frac {d\,(f(x))}{dx}}$	(Cƒ(x))'=Cƒ'(x)	常係數可提出
乘積法則	${\begin{aligned}{\frac {d\,(f(x)\times g(x))}{dx}}&={\frac {d\,(f(x))}{dx}}\times g(x)+f(x)\times {\frac {d\,(g(x))}{dx}}\\&=f'(x)\times g(x)+f(x)\times g'(x)\end{aligned}}$	(fg)'=f'g+fg'	前導後不導 +前不導後導
鏈式法則	${\frac {d\,(f(x))}{dx}}={\frac {d\,(f(x))}{d\,(g(x))}}\times {\frac {d\,(g(x))}{dx}}$ 或 $d\,(f(x))=d\,(f(x))\times {\frac {d\,(g(x))}{d\,(g(x))}}$	${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dx}}$	分子分母同乘d(g(x))

多項式的圖形

1. 零次：，
2. 一次：，
3. 二次：，，更多拋物線圖形
4. 三次：，
5. 四次：，
6. 五次：，

一元二次方程式的配方法

由乘法公式 $(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$，可以對任意一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 進行配方，而以上的公式解也是由配方法推導出來的，推導過程如下：

推導過程一：求函數值

${\begin{aligned}y&=f(x)\\\\&=ax^{2}+bx+c\\\\&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\\\&=a\left[x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}\right]\\\\&=a\left[x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right]\\\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac}{4a^{2}}}\right]\\\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}\right]\\\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)\\\end{aligned}}$

函數值與圖形的關係

1. $a>0$ 時右側斜向上，拋物線開口向上，有極小值
2. $a<0$ 時右側斜向下，拋物線開口向下，有極大值
3. $x+{\frac {b}{2a}}=0$ 或 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 時有極大值或極小值 $c-{\frac {b^{2}}{4a}}$
4. $a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)=0$（即圖形交 $y=0$）時為兩根

推導過程二：求根

$ax^{2}+bx+c=0\implies x^{2}+{\frac {b}{a}}\,x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}\,x+{\frac {c}{a}}=0\implies x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0\implies x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\,{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\,{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\implies \,x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\,{\frac {c}{a}}$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\,{\frac {c}{a}}\implies \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\implies x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\implies x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

根與係數的關係

設一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 的解為 $w$ 和 $z$ ，則有以下關係式：

• $w+z=-{\frac {b}{a}}$

• $wz={\frac {c}{a}}$

這兩個公式由設 $w$ 和 $z$ 為符合一元二次方程式公式解的寫法來求出。

基本例題

1. $x^{2}=16$
2. $x^{2}-x=30$
3. $4x^{2}+4x+4=3$

答案

1. $x^{2}=16$ $x=4$ 或 $x=-4$ $x=\pm 4$ 2. $x^{2}-x=30$ $(x-0.5)^{2}-0.25=30$ $(x-0.5)^{2}=30.25$ $x-0.5=5.5$ 或 $-5.5$ $x=6$ 或 $-5$ 3. $4x^{2}+4x+4=3$ $4x^{2}+4x+1=0$ $(2x+1)^{2}=0$ $x=-0.5$ (重根)

配方法的圖解

	令 a=1,C=-c