多项式的微积分

先备练习

1. 将 (1+1) 从一次方乘到四次
2. 将 (x+1) 从一次方乘到四次
3. 将 (a+b) 从一次方乘到四次

• 多项式
  1. 项
  2. 系数
  3. 次
  4. 元
• 杨辉三角形：$\left(a+b\right)^{n}$ 展开的系数

切线斜率、微分、导数

设 $y=f(x)$，则函数 $f$在 $a$点切线斜率、微分、导数、$f'(a)$、${\frac {dy}{dx}}$、${\frac {d\,f(x)}{dx}}$、${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$、$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$ 都代表同一个意思。

一元多次方程式的微分

微分的方法

y=ƒ(x)：

• 单项式的 ƒ'(x)

  $f(x)=ax^{n}$

  $f'(x)=anx^{n-1}$

  1. axⁿ 对 x 的微分为 anx^n-1 ，请证明
  2. n 为 0 (即常数)，则微分为 0。因为微分代表“变化”，常数没有变化。
  3. 除 0 之外，n 不管是正数或负数、整数或非整数都成立，
• 多项式的 ƒ'(x)
  1. 每个单项皆微分
  2. 常数项微分为 0
• 微分之应用问题
• 更多例题

与微分的相关的性质

• 极限存在，它的左右极限存在且相等。
• 函数在一点可导的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。
• dy=ƒ'(x) dx 即 ƒ'(x) 曲线与 $x$ 轴所夹的微小面积。

长条面积总和

函数 y = x² 的上长条总和

函数 y = x² 的下长条总和

• 原函数 ƒ(x)=0 时，x 值称为方程式的根。此处为函数图形与 $x$ 轴之交点。
• 函数 ƒ(x) 与其导数函数 ƒ'(x) 的关系：
  1. 函数的转弯处 → 斜率为 0，ƒ'(x) 为 0 处，ƒ(x) 有极大值或极小值，斜率由正转负时有极大值，斜率由负转正时有极小值。
  2. 一系列的函数 ƒ(x) + C ，有相同的导函数 ƒ'(x) 。

求导法则

适用所有可微分的方程式。

法则	表示式	简记	口诀
常数微分	${\frac {d\,C}{dx}}=0$	常数'=0	常数微分为零
常系数微分	${\frac {d\,(C\times f(x))}{dx}}=C\times {\frac {d\,(f(x))}{dx}}$	(Cƒ(x))'=Cƒ'(x)	常系数可提出
乘积法则	${\begin{aligned}{\frac {d\,(f(x)\times g(x))}{dx}}&={\frac {d\,(f(x))}{dx}}\times g(x)+f(x)\times {\frac {d\,(g(x))}{dx}}\\&=f'(x)\times g(x)+f(x)\times g'(x)\end{aligned}}$	(fg)'=f'g+fg'	前导后不导 +前不导后导
链式法则	${\frac {d\,(f(x))}{dx}}={\frac {d\,(f(x))}{d\,(g(x))}}\times {\frac {d\,(g(x))}{dx}}$ 或 $d\,(f(x))=d\,(f(x))\times {\frac {d\,(g(x))}{d\,(g(x))}}$	${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dx}}$	分子分母同乘d(g(x))

多项式的图形

1. 零次：，
2. 一次：，
3. 二次：，，更多抛物线图形
4. 三次：，
5. 四次：，
6. 五次：，

一元二次方程式的配方法

由乘法公式 $(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$，可以对任意一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 进行配方，而以上的公式解也是由配方法推导出来的，推导过程如下：

推导过程一：求函数值

${\begin{aligned}y&=f(x)\\\\&=ax^{2}+bx+c\\\\&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\\\&=a\left[x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}\right]\\\\&=a\left[x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right]\\\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac}{4a^{2}}}\right]\\\\&=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}\right]\\\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)\\\end{aligned}}$

函数值与图形的关系

1. $a>0$ 时右侧斜向上，抛物线开口向上，有极小值
2. $a<0$ 时右侧斜向下，抛物线开口向下，有极大值
3. $x+{\frac {b}{2a}}=0$ 或 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 时有极大值或极小值 $c-{\frac {b^{2}}{4a}}$
4. $a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)=0$（即图形交 $y=0$）时为两根

推导过程二：求根

$ax^{2}+bx+c=0\implies x^{2}+{\frac {b}{a}}\,x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}\,x+{\frac {c}{a}}=0\implies x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0\implies x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\,{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\,{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\implies \,x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\,{\frac {c}{a}}$

$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\,{\frac {c}{a}}\implies \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\implies x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\implies x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

根与系数的关系

设一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ 的解为 $w$ 和 $z$ ，则有以下关系式：

• $w+z=-{\frac {b}{a}}$

• $wz={\frac {c}{a}}$

这两个公式由设 $w$ 和 $z$ 为符合一元二次方程式公式解的写法来求出。

基本例题

1. $x^{2}=16$
2. $x^{2}-x=30$
3. $4x^{2}+4x+4=3$

答案

1. $x^{2}=16$ $x=4$ 或 $x=-4$ $x=\pm 4$ 2. $x^{2}-x=30$ $(x-0.5)^{2}-0.25=30$ $(x-0.5)^{2}=30.25$ $x-0.5=5.5$ 或 $-5.5$ $x=6$ 或 $-5$ 3. $4x^{2}+4x+4=3$ $4x^{2}+4x+1=0$ $(2x+1)^{2}=0$ $x=-0.5$ (重根)

配方法的图解

	令 a=1,C=-c