微积分学/不定积分

维基教科书,自由的教学读本
跳到导航 跳到搜索
Calculus cover.jpg
阅读完本章后
不要忘记做练习哟!
做完练习之后
也不要忘了
参照一下答案哟!

定义[编辑]

是区间上的可导函数。若对任给,有,则称上的一个原函数,或简单地说,的原函数。

在区间上的一个原函数,则称取任意常数)为不定积分(有时也简称为积分),记作,即

为积分号,为被积函数,为积分变量,为被积表达式,为积分常数。

例1

的导函数是,则的原函数是加上一个常数。有

例2

考察函数。由求导法则

又由于

因此,的一个原函数。

性质[编辑]

基本性质[编辑]

为一常数,则
分项积分公式

幂函数的积分[编辑]

,对任意成立。

反比例函数的积分[编辑]

注意:当指数为时,幂函数的积分规则不适用,必须使用反比例函数的积分规则。由于对数函数的真数必为正,因此须加上绝对值符号。

指数函数的积分[编辑]

三角函数的积分[编辑]


分部积分法[编辑]

分部积分法

可微,则

例1

,则
,则

所以

例2

,则
,则

所以

再令

,则
,则

所以

因此

例3

原式可写作

,则
,则

所以

例4

原式可写作

,则
,则

所以

例5

,则
,则

所以

再令

,则
,则

所以

解得