微積分學/不定積分

維基教科書,自由的教學讀本
跳至導覽 跳至搜尋
Calculus cover.jpg
閱讀完本章後
不要忘記做練習喲!
做完練習之後
也不要忘了
參照一下答案喲!

定義[編輯]

是區間上的可導函數。若對任給,有,則稱上的一個原函數,或簡單地說,的原函數。

在區間上的一個原函數,則稱取任意常數)為不定積分(有時也簡稱為積分),記作,即

為積分號,為被積函數,為積分變量,為被積表達式,為積分常數。

例1

的導函數是,則的原函數是加上一個常數。有

例2

考察函數。由求導法則

又由於

因此,的一個原函數。

性質[編輯]

基本性質[編輯]

為一常數,則
分項積分公式

冪函數的積分[編輯]

,對任意成立。

反比例函數的積分[編輯]

注意:當指數為時,冪函數的積分規則不適用,必須使用反比例函數的積分規則。由於對數函數的真數必為正,因此須加上絕對值符號。

指數函數的積分[編輯]

三角函數的積分[編輯]


分部積分法[編輯]

分部積分法

可微,則

例1

,則
,則

所以

例2

,則
,則

所以

再令

,則
,則

所以

因此

例3

原式可寫作

,則
,則

所以

例4

原式可寫作

,則
,則

所以

例5

,則
,則

所以

再令

,則
,則

所以

解得