微積分學/不定積分
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定義
[編輯]設是區間上的可導函數。若對任給,有或,則稱為在上的一個原函數,或簡單地說,是的原函數。
設是在區間上的一個原函數,則稱(取任意常數)為的不定積分(有時也簡稱為積分),記作,即。
稱為積分號,為被積函數,為積分變量,為被積表達式,為積分常數。
例1
的導函數是,則的原函數是加上一個常數。有
例2
考察函數。由求導法則
有
又由於
因此,是的一個原函數。
性質
[編輯]基本性質
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若為一常數,則。
分項積分公式
冪函數的積分
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,對任意成立。
反比例函數的積分
[編輯]注意:當指數為時,冪函數的積分規則不適用,必須使用反比例函數的積分規則。由於對數函數的真數必為正,因此須加上絕對值符號。
指數函數的積分
[編輯]三角函數的積分
[編輯]例
分部積分法
[編輯]分部積分法
設和連續可微,則
例1
求
令
- ,則
- ,則
所以
例2
求
令
- ,則
- ,則
所以
再令
- ,則
- ,則
所以
因此
例3
求
原式可寫作
令
- ,則
- ,則
所以
例4
求
原式可寫作
令
- ,則
- ,則
所以
例5
求
令
- ,則
- ,則
所以
再令
- ,則
- ,則
所以
故
解得