微积分学/函数

初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、复合函数、双曲函数、反双曲函数统称为基本初等函数。由常数字和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可以用一个式子表示的函数，称为初等函数。

幂函数

冪函數，即多項式$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{......}+a_n{x}^n$，其中因為 $\frac{dcy}{dx}=c\frac{dy}{dx}$（$c$為一常數），以及$\frac{d(y+z)}{dx}=\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}$成立，故以下只討論$x^n$的情況：

若$y=x^n$則$\frac{dy}{dx}=n{x}^{n-1}$

事實上，以上的微分式子不僅僅對正整數成立，對所有的實數n皆成立

指数函数

函数 $y=a^x$（a是常数，而且有a>0 ，a≠1）叫做指数函数。 其定义域区间为(-∞,+∞)。

指数函数有如下性质：

• 值域是$(0,+\mathrm{\infty })$。
• 单调性：$a>1$时，函数是单调增加的；$0<a<1$时，函数是单调减少的。
• $y=(\frac{1}{a}{)}^x$的图形和$y=a^x$的图形是关于y轴对称的。

以常数$e=\mathrm{2.7182818...}$为底数的指数函数$y=e^x$是最常用的指数函数。

对数函数

$y={\log }_{a}x$（其中a为底数）被称为对数函数。其中$x=a^y$。 在某些时候$y=\ln x$ 也被称为对数函数，这是指以常数$e$为底的对数函数.

在实分析的范畴之内$a>0$, $x>0$。

对数函数有如下性质：

• 值域是$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。

$\ln x$

$\ln x\equiv {\log }_{e}x$

$\ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y$

$\ln (xy)=\ln x+\ln y$

三角函数

$\sin x$、$\cos x$及以此兩函數複合的另外四個函數都稱之為三角函數，而三角函數中$\sin x$ 和$\cos x$的微分如下：

• $\frac{d\sin x}{dx}=\cos x$

• $\frac{d\cos x}{dx}=-\sin x$

• $\frac{d\tan x}{dx}={\sec }^{2}x$

• $\frac{d\cot x}{dx}=-{\csc }^{2}x$

• $\frac{d\sec x}{dx}=\tan x\sec x$

• $\frac{d\csc x}{dx}=-\cot x\csc x$

反三角函数

$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$、$\mathrm{arccot}x$及與之類似的函數都稱之為反三角函數。其微分如下

• $\frac{d\arctan x}{dx}=\frac{1}{x^2+1}$

• $\frac{d\mathrm{arccot}x}{dx}=-\frac{1}{x^2+1}$

• $\frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}$

• $\frac{d\arccos x}{dx}=-\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}$

复合函数

複合函數是指可以寫成如下形式的函數：

$F(x)=f(u),u=g(x)$， 即$F(x)=f(g(x))$

其微分為

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$

或將$g(x)$替換為$u(x)$而寫成

$\frac{dF(x)}{dx}=\frac{df(u)}{du}\frac{du(x)}{dx}$

双曲函数

一般而言，雙曲函數指$\sinh x$和$\cosh x$而言，且$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，因此及指數函數的微分可得：

• $\frac{d\sinh x}{dx}=\cosh x$

• $\frac{d\cosh x}{dx}=\sinh x$