微积分学/代数

四则运算

加法

• $a+0=a$
• $a+(-a)=0$
• 交换律：$a+b=b+a$
• 结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$

减法

• 定义：$a-b=a+(-b)$

乘法

• $a\times 1=a$
• 当$a\ne 0$时，$a\times \frac{1}{a}=1$
• 交换律：$a\times b=b\times a$
• 结合律：$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
• 分配律：$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$

除法

• 定义：当$b\ne 0$时，$\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}$

例

$\frac{(x+2)(x+3)}{x+3}$	$=[(x+2)\times (x+3)]\times \frac{1}{x+3}$（除法定义）
	$=(x+2)\times [(x+3)\times \frac{1}{x+3}]$（乘法结合律）
	$=(x+2)\times 1,x\ne -3$
	$=x+2,x\ne -3$

基于这个原理，我们可以直接同时消去分子和分母中的$x+3$。

指数运算

若$n$为正整数，则记$a^n$为$a$（底数）的$n$（指数）次方，即

$a^n=a\cdot a\cdot a\cdots a$（$n$次）

若$a\ne 0$，则$a^0=1$。

若$-n$为负整数，则$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。

若指数为分数，则$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a}{)}^m$。

指数运算有如下法则：

法则	示例
$a^n{a}^m=a^{n+m}$	$3^6\times 3^9=3^{15}$
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$	$\frac{x^3}{x^2}=x^1=x$
$(a^n{)}^m=a^{n\cdot m}$	$(x^4{)}^5=x^{20}$
$(ab{)}^n=a^n{b}^n$	$(3x{)}^5=3^5{x}^5$
${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$	${\left(\frac{7}{3}\right)}^3=\frac{7^3}{3^3}$

例

化简$144^{\frac{5}{3}}$

$144^{\frac{5}{3}}=(2^4\cdot 3^2{)}^{\frac{5}{3}}=2^{\frac{20}{3}}\cdot 3^{\frac{10}{3}}=2^6\sqrt[3]{2^2}\cdot 3^3\sqrt[3]{3}=1728\sqrt[3]{12}$