微積分學/函數

初等函數

冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數、複合函數、雙曲函數、反雙曲函數統稱為基本初等函數。由常數字和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數複合步驟所構成並可以用一個式子表示的函數，稱為初等函數。

冪函數

冪函數，即多項式$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{......}+a_n{x}^n$，其中因為 $\frac{dcy}{dx}=c\frac{dy}{dx}$（$c$為一常數），以及$\frac{d(y+z)}{dx}=\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}$成立，故以下只討論$x^n$的情況：

若$y=x^n$則$\frac{dy}{dx}=n{x}^{n-1}$

事實上，以上的微分式子不僅僅對正整數成立，對所有的實數n皆成立

指數函數

函數 $y=a^x$（a是常數，而且有a>0 ，a≠1）叫做指數函數。 其定義域區間為(-∞,+∞)。

指數函數有如下性質：

• 值域是$(0,+\mathrm{\infty })$。
• 單調性：$a>1$時，函數是單調增加的；$0<a<1$時，函數是單調減少的。
• $y=(\frac{1}{a}{)}^x$的圖形和$y=a^x$的圖形是關於y軸對稱的。

以常數$e=\mathrm{2.7182818...}$為底數的指數函數$y=e^x$是最常用的指數函數。

對數函數

$y={\log }_{a}x$（其中a為底數）被稱為對數函數。其中$x=a^y$。 在某些時候$y=\ln x$ 也被稱為對數函數，這是指以常數$e$為底的對數函數.

在實分析的範疇之內$a>0$, $x>0$。

對數函數有如下性質：

• 值域是$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。

$\ln x$

$\ln x\equiv {\log }_{e}x$

$\ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y$

$\ln (xy)=\ln x+\ln y$

三角函數

$\sin x$、$\cos x$及以此兩函數複合的另外四個函數都稱之為三角函數，而三角函數中$\sin x$ 和$\cos x$的微分如下：

• $\frac{d\sin x}{dx}=\cos x$

• $\frac{d\cos x}{dx}=-\sin x$

• $\frac{d\tan x}{dx}={\sec }^{2}x$

• $\frac{d\cot x}{dx}=-{\csc }^{2}x$

• $\frac{d\sec x}{dx}=\tan x\sec x$

• $\frac{d\csc x}{dx}=-\cot x\csc x$

反三角函數

$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$、$\mathrm{arccot}x$及與之類似的函數都稱之為反三角函數。其微分如下

• $\frac{d\arctan x}{dx}=\frac{1}{x^2+1}$

• $\frac{d\mathrm{arccot}x}{dx}=-\frac{1}{x^2+1}$

• $\frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}$

• $\frac{d\arccos x}{dx}=-\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}$

複合函數

複合函數是指可以寫成如下形式的函數：

$F(x)=f(u),u=g(x)$， 即$F(x)=f(g(x))$

其微分為

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$

或將$g(x)$替換為$u(x)$而寫成

$\frac{dF(x)}{dx}=\frac{df(u)}{du}\frac{du(x)}{dx}$

雙曲函數

一般而言，雙曲函數指$\sinh x$和$\cosh x$而言，且$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$，因此及指數函數的微分可得：

• $\frac{d\sinh x}{dx}=\cosh x$

• $\frac{d\cosh x}{dx}=\sinh x$