微积分学/极限/习题

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基础题[编辑]

$\lim _{x\to 2}{\Big (}4x^{2}-3x+1{\Big )}$ …………答案： $11$
$\lim _{x\to 5}x^{2}$ …………答案： $25$

单侧极限[编辑]

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {x^{3}+x^{2}}{x^{3}+2x^{2}}}$ …………答案： ${\frac {1}{2}}$
$\lim _{x\to 7^{-}}{\Big (}|x^{2}+x|-x{\Big )}$ …………答案： $49$
$\lim _{x\to -1^{-}}{\sqrt {1-x^{2}}}$ …………答案： $0$
$\lim _{x\to -1^{+}}{\sqrt {1-x^{2}}}$ …………答案：不存在

双侧极限[编辑]

$\lim _{x\to -1}{\frac {1}{x-1}}$ …………答案： $-{\frac {1}{2}}$
$\lim _{x\to 4}{\frac {1}{x-4}}$ …………答案：不存在
$\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x-2}}$ …………答案：不存在
$\lim _{x\to -3}{\frac {x^{2}-9}{x+3}}$ …………答案： $-6$
$\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}$ …………答案： $6$
$\lim _{x\to -1}{\frac {x^{2}+2x+1}{x+1}}$ …………答案： $0$
$\lim _{x\to -1}{\frac {x^{3}+1}{x+1}}$ …………答案： $3$
$\lim _{x\to 4}{\frac {x^{2}+5x-36}{x^{2}-16}}$ …………答案： ${\frac {13}{8}}$
$\lim _{x\to 25}{\frac {x-25}{{\sqrt {x}}-5}}$ …………答案： $10$
$\lim _{x\to 0}{\frac {|x|}{x}}$ …………答案：不存在
$\lim _{x\to 2}{\frac {1}{(x-2)^{2}}}$ …………答案： $+\infty$
$\lim _{x\to 3}{\frac {\sqrt {x^{2}+16}}{x-3}}$ …………答案：不存在
$\lim _{x\to -2}{\frac {3x^{2}-8x-3}{2x^{2}-18}}$ …………答案： $-{\frac {5}{2}}$
$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+1}}$ …………答案： $9$
$\lim _{x\to 3}{\frac {x+3}{x^{2}-9}}$ …………答案：不存在
$\lim _{x\to -1}{\frac {x+1}{x^{2}+x}}$ …………答案： $-1$
$\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+1}}$ …………答案： ${\frac {1}{2}}$
$\lim _{x\to 1}\left(x^{2}+5x-{\frac {1}{2-x}}\right)$ …………答案： $5$
$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x^{2}+2x-3}}$ …………答案： ${\frac {1}{2}}$
$\lim _{x\to 1}{\frac {5x}{x^{2}+2x-3}}$ …………答案：不存在

无穷极限[编辑]

$\lim _{x\to \infty }{\frac {-x+\pi }{x^{2}+3x+2}}$ …………答案： $0$
$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}+2x+1}{3x^{2}+1}}$ …………答案： ${\frac {1}{3}}$
$\lim _{x\to -\infty }{\frac {3x^{2}+x}{2x^{2}-15}}$ …………答案： ${\frac {3}{2}}$
$\lim _{x\to -\infty }{\Big (}3x^{2}-2x+1{\Big )}$ …………答案： $+\infty$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {2x^{2}-32}{x^{3}-64}}$ …………答案： $0$
$\lim _{x\to \infty }6$ …………答案： $6$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+4x}{x^{4}+2}}$ …………答案： $0$
$\lim _{x\to -\infty }{\frac {2x+3x^{2}+1}{2x^{2}+3}}$ …………答案： ${\frac {3}{2}}$
$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}-3x^{2}+1}{3x^{2}+x+5}}$ …………答案： $-\infty$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}+2}{x^{3}-2}}$ …………答案： $0$

分段函数极限[编辑]

$f(x)={\begin{cases}(x-2)^{2}&{\text{, }}x<2\\x-3&{\text{, }}x\geq 2\end{cases}}$ $f(x)={\begin{cases}(x-2)^{2}&{\text{, }}x<2\\x-3&{\text{, }}x\geq 2\end{cases}}$
1. $\lim _{x\to 2^{-}}f(x)$ …………答案： $0$
2. $\lim _{x\to 2^{+}}f(x)$ …………答案： $-1$
3. $\lim _{x\to 2}f(x)$ …………答案：不存在
$g(x)={\begin{cases}-2x+1&{\text{, }}x\leq 0\\x+1&{\text{, }}0<x<4\\x^{2}+2&{\text{, }}x\geq 4\end{cases}}$ $g(x)={\begin{cases}-2x+1&{\text{, }}x\leq 0\\x+1&{\text{, }}0<x<4\\x^{2}+2&{\text{, }}x\geq 4\end{cases}}$
1. $\lim _{x\to 4^{+}}g(x)$ …………答案： $18$
2. $\lim _{x\to 4^{-}}g(x)$ …………答案： $5$
3. $\lim _{x\to 0^{+}}g(x)$ …………答案： $1$
4. $\lim _{x\to 0^{-}}g(x)$ …………答案： $1$
5. $\lim _{x\to 0}g(x)$ …………答案： $1$
6. $\lim _{x\to 1}g(x)$ …………答案： $2$
$h(x)={\begin{cases}2x-3&{\text{, }}x<2\\8&{\text{, }}x=2\\-x+3&{\text{, }}x>2\end{cases}}$ $h(x)={\begin{cases}2x-3&{\text{, }}x<2\\8&{\text{, }}x=2\\-x+3&{\text{, }}x>2\end{cases}}$
1. $\lim _{x\to 0}h(x)$ …………答案： $-3$
2. $\lim _{x\to 2^{-}}h(x)$ …………答案： $1$
3. $\lim _{x\to 2^{+}}h(x)$ …………答案： $1$
4. $\lim _{x\to 2}h(x)$ …………答案： $1$

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微积分学