若
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
,
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
均为常数,则
![{\displaystyle \lim _{x\to a}b=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05504c62aef23c9a2f1932d6078f19bdbcc158b)
。
- 证明
欲证
,只需找到一个
,使得对任意
,当
时,都有
。由于
且
, 则
对任意
均成立,证毕。
若
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
为常数,则
![{\displaystyle \lim _{x\to a}x=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a121ff6c4894272fdd412394e696a12722f2dcb)
。
- 证明
欲证
,只需找到一个
,使得对任意
,当
时,都有
。取
,满足条件,证毕。
线性规则
设
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f174c16cc9e61932ecc7eb71b27a4f10a44fc9)
,
![{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed782cf1eb13595767428325251ef8dd9bfbd3cd)
,则
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63558973f7dd0b0f40d8b5ec75c0069be55cbfd5)
。
- 证明
显然,必有函数
和
,使得对任意
,当
时,
;当
时,
。两式相加,得
。
由三角不等式,得
。
因此,当
且
时,
。
设
为
和
二者中较小者,则
的定义中的
即为
,求出值为
,证毕。
线性规则
设
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f174c16cc9e61932ecc7eb71b27a4f10a44fc9)
,
![{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed782cf1eb13595767428325251ef8dd9bfbd3cd)
,则
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2245bcbbf23e62d18e911d97fb3374f21029d253)
。
- 证明
令
,则
,故
,证毕。
积规则
设
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f174c16cc9e61932ecc7eb71b27a4f10a44fc9)
,
![{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed782cf1eb13595767428325251ef8dd9bfbd3cd)
,则
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\lim _{x\to c}g(x)=LM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef1c05fdb2e393ebff68463af07e5ecdbb7f8d9)
。
- 证明
设
为任意正数,则必有
,使得
- 当
时,
;
- 当
时,
;
- 当
时,
。
由3得当
时,
,则当
时,由1和2得
,证毕。
商规则
设
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f174c16cc9e61932ecc7eb71b27a4f10a44fc9)
,
![{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=M\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ec22dfaeb3760dce048424c47ae7563c13b759)
,则
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}f(x)}{\lim \limits _{x\to c}g(x)}}={\frac {L}{M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0171a9a0dfe00d5c16e727eaa665c634cd3e1fbc)
。
- 证明
若
,则可令
,运用积规则可证商规则。下证
:
设
为任意正数,则必有
,使得
- 当
时,
;
- 当
时,
。
由2得
,则当
时,
。
故当
时,
。
当
时,有
,证毕。
夹挤原理
设
![{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7767fbad8243d5b01c58010b17b4c81906f6f51)
,且在
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
的某个去心邻域内有
![{\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f75c03b6ad428754e1884a9d4f7d9f819714a9)
,则
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f174c16cc9e61932ecc7eb71b27a4f10a44fc9)
。
- 证明
显然,必有
,使得当
时,
,
。
不等式等价于:
时,
,
。
因此当
时,
,或当
时,
。
故当
时,
,证毕。