數學解題/P20080604-01
维基教科书,自由的教学读本
<
數學解題
跳到导航
跳到搜索
問題:
右圖為一打開 60° 的扇形,O 為圓心,半徑為 r
若 P 為位在 AB 弧上的一點,並且作垂直線段到扇形的兩邊,長度分別為 a 與 b ,
那麼如何利用 a 與 b 計算出 r ?
解法一
[
编辑
]
此解法主要是利用三角函數的
和角公式
:
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
−
sin
β
cos
α
{\displaystyle \displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha }
假設:
α
=
{\displaystyle \displaystyle \alpha =}
∠AOP,
β
=
{\displaystyle \displaystyle \beta =}
∠BOP
因為
∠AOP = 60°,
sin
α
=
a
r
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{r}}}
,
sin
β
=
b
r
{\displaystyle \sin \beta ={\frac {b}{r}}}
所以:
sin
β
=
sin
(
60
∘
−
α
)
=
sin
60
∘
cos
α
−
cos
60
∘
sin
α
{\displaystyle \displaystyle \sin \beta =\sin(60^{\circ }-\alpha )=\sin 60^{\circ }\cos \alpha -\cos 60^{\circ }\sin \alpha }
從圖中,我們可以將上面的式子中的三角函數轉成以下的各種比例:
b
r
=
3
2
r
2
−
a
2
r
−
1
2
a
r
{\displaystyle {\frac {b}{r}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}{r}}-{\frac {1}{2}}{\frac {a}{r}}}
兩邊同乘以
2
r
{\displaystyle \displaystyle 2r}
,可得:
2
b
=
3
r
2
−
a
2
−
a
{\displaystyle 2b={\sqrt {3}}{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}-a}
a
+
2
b
=
3
r
2
−
a
2
{\displaystyle a+2b={\sqrt {3}}{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}
兩邊同時平方,可得:
(
a
+
2
b
)
2
=
3
(
r
2
−
a
2
)
{\displaystyle \displaystyle (a+2b)^{2}=3(r^{2}-a^{2})}
整理後,可得
4
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
3
r
2
{\displaystyle \displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=3r^{2}}
分类
:
邏輯通路
导航菜单
个人工具
未登录
讨论
贡献
创建账号
登录
命名空间
页面
讨论
不转换
不转换
简体
繁體
大陆简体
港澳繁體
马新简体
臺灣正體
查看
阅读
编辑
查看历史
更多
搜索
导航
首页
社群首页
最近更改
随机页面
图书馆
维基儿童
上传文件
帮助
帮助
互助客栈
方针与指引
字词转换
所有页面
IRC即時聊天
联络我们
关于维基教科书
资助我们
工具
链入页面
相关更改
特殊页面
固定链接
页面信息
获取缩短的URL
引用本页
打印/导出
下载为PDF
可打印版本
其他语言
添加链接