數學解題/P20080604-01

問題：	右圖為一打開 60° 的扇形，O 為圓心，半徑為 r 若 P 為位在 AB 弧上的一點，並且作垂直線段到扇形的兩邊，長度分別為 a 與 b ， 那麼如何利用 a 與 b 計算出 r ？

解法一

此解法主要是利用三角函數的和角公式：

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$

假設：

$\alpha =$ ∠AOP，$\beta =$ ∠BOP

因為

∠AOP = 60°，$\sin \alpha =\frac{a}{r}$，$\sin \beta =\frac{b}{r}$

所以：

$\sin \beta =\sin (60^{\circ }-\alpha )=\sin 60^{\circ }\cos \alpha -\cos 60^{\circ }\sin \alpha$

從圖中，我們可以將上面的式子中的三角函數轉成以下的各種比例：

$\frac{b}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r}-\frac{1}{2}\frac{a}{r}$

兩邊同乘以 $2r$，可得：

$2b=\sqrt{3}\sqrt{r^2-a^2}-a$

$a+2b=\sqrt{3}\sqrt{r^2-a^2}$

兩邊同時平方，可得：

$(a+2b{)}^2=3(r^2-a^2)$

整理後，可得

$4(a^2+ab+b^2)=3r^2$