数学解题/P20080604-01

问题：	右图为一打开 60° 的扇形，O 为圆心，半径为 r 若 P 为位在 AB 弧上的一点，并且作垂直线段到扇形的两边，长度分别为 a 与 b ， 那么如何利用 a 与 b 计算出 r ？

解法一

此解法主要是利用三角函数的和角公式：

$\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$

假设：

$\displaystyle \alpha =$ ∠AOP，$\displaystyle \beta =$ ∠BOP

因为

∠AOP = 60°，$\sin \alpha ={\frac {a}{r}}$，$\sin \beta ={\frac {b}{r}}$

所以：

$\displaystyle \sin \beta =\sin(60^{\circ }-\alpha )=\sin 60^{\circ }\cos \alpha -\cos 60^{\circ }\sin \alpha$

从图中，我们可以将上面的式子中的三角函数转成以下的各种比例：

${\frac {b}{r}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}{r}}-{\frac {1}{2}}{\frac {a}{r}}$

两边同乘以 $\displaystyle 2r$，可得：

$2b={\sqrt {3}}{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}-a$

$a+2b={\sqrt {3}}{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$

两边同时平方，可得：

$\displaystyle (a+2b)^{2}=3(r^{2}-a^{2})$

整理后，可得

$\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=3r^{2}$