# 極限

## 數列的極限

### 數列有界性的定義

${\displaystyle \exists A\in R}$使得數列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$}恆滿足${\displaystyle x_{n}\geq A}$，則稱數列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$}有下界；若${\displaystyle \exists B\in R}$使得數列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$}恆滿足${\displaystyle x_{n}\leq B}$，則稱數列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$}有上界；若${\displaystyle \exists A\in R}$${\displaystyle \exists B\in R}$使得數列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$}恆滿足${\displaystyle B\geq x_{n}\geq A}$，則稱數列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$}有界。

### 數列極限的定義

${\displaystyle \left|x_{n}-y\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=y}$

### 斯鐸茲（Otto-Stolz）法則

#### 法則一

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x=0}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y=0}$，且數列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$}單調遞減。則當極限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}}$存在時，極限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$存在，且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$；當${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}}\to +\infty }$時，有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\to +\infty }$

#### 法則二

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y\to +\infty }$，數列{${\displaystyle \left.y_{n}\right.}$}單調遞增，則當極限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}}$存在時，極限${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$存在，且${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}}$；當${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\to +\infty }$時，有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\to +\infty }$

## 函數的極限

### 函數極限的定義

#### 自變量趨於常數的極限

${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$

#### 自變量趨於無窮的極限

1. 對於函數${\displaystyle \left.f(x)\right.}$，若${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}} }$${\displaystyle \exists A\in \mathbf {R} }$，總${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R^{+}} }$，當${\displaystyle \left.x>X\right.}$時必然滿足：

${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A}$

2. 對於函數${\displaystyle \left.f(x)\right.}$，若${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}} }$${\displaystyle \exists A\in \mathbf {R} }$，總${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R^{-}} }$，當${\displaystyle \left.x時必然滿足：

${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A}$

3. 對於函數${\displaystyle \left.f(x)\right.}$，若${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbf {R^{+}} }$${\displaystyle \exists A\in \mathbf {R} }$，總${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R} }$，當${\displaystyle x>\left|X\right|}$時必然滿足：

${\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A}$

### 性質

#### 局部保序性

1. 設${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a}$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=b}$，若${\displaystyle \exists \delta \in \mathbf {R^{+}} }$，當${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta }$時，都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$，則${\displaystyle \left.a\leq b\right.}$

2. 設${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=a}$${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g(x)=b}$，若${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R^{+}} }$，當${\displaystyle \left.x>X\right.}$時，都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$，則${\displaystyle \left.a\leq b\right.}$

3. 設${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=a}$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }g(x)=b}$，若${\displaystyle \exists X\in \mathbf {R^{-}} }$，當${\displaystyle \left.x時， 都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$，則${\displaystyle \left.a\leq b\right.}$

#### 保號性（也稱正負不變性）

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}$${\displaystyle \left.A\not =0\right.}$，則在${\displaystyle a\in \mathbf {R} }$的某個去心鄰域${\displaystyle (-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon )}$內存在一個區間${\displaystyle \left.U_{o}\right.}$滿足當${\displaystyle x\in U_{o}}$時，${\displaystyle \left.f(x)\right.}$的值的正負性與${\displaystyle \left.A\right.}$保持一致。

#### 海涅（Heine–Cantor）定理

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(w_{n})=A}$

### 羅比達法則 (l'Hôpital's rule)

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$

## 幾個常用的極限

1. 設函數${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$其中${\displaystyle x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$，則有${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=1}$

2. 設數列{${\displaystyle \left.x_{n}\right.}$}恆滿足${\displaystyle x_{n}=(1+{\frac {1}{n}})^{n}}$，則有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=e}$，其中${\displaystyle \left.e\right.}$是自然對數的底數，${\displaystyle e\approx 2.712818\cdots }$

3. 設函數${\displaystyle f(x)=(1+{\frac {1}{x}})^{x}}$其中${\displaystyle x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$，則有${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=e}$

4. 設函數${\displaystyle f(x)=(1-{\frac {1}{x}})^{x}}$其中${\displaystyle x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$，則有${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {1}{e}}}$

## 無窮的階

### 無窮大與無窮小的概念

1. 無窮小：通常稱以0為極限的變量或函數為無窮小。
2. 無窮大：若函數${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle x\to x_{0}}$（或${\displaystyle x\to \infty }$）時，${\displaystyle \left|f(x)\right|}$的值無窮增大，則稱函數${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle x\to x_{0}}$（或${\displaystyle x\to \infty }$）時為無窮大。通常記作：

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }$（或者${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }$）。

### 高階、低階與同階

#### 無窮小的高階、低階與同階

1.高階無窮小：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$在極限附近處滿足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}$時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$的高階無窮小。通常記作：

${\displaystyle \left.f(x)=o(g(x))\right.}$${\displaystyle x\to x_{0}}$或者${\displaystyle x\to \infty }$

2.低階無窮小：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$${\displaystyle \left.f(x)\right.}$在極限附近處滿足${\displaystyle \left.f(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=0}$時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$的低階無窮小。

3.同階無窮小：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$在極限附近處滿足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c}$（其中${\displaystyle c\in \mathbf {R} }$）時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$的同階無窮小。

4.階數：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$在極限附近處滿足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g^{m}(x)}}=c}$（其中${\displaystyle c,m\in \mathbf {R} }$）時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$${\displaystyle \left.m\right.}$階無窮小，${\displaystyle \left.m\right.}$是無窮小的階數。

#### 無窮大的高階、低階與同階

1.高階無窮大：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$${\displaystyle \left.f(x)\right.}$在極限附近處必須滿足${\displaystyle \left.f(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=0}$時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$的高階無窮大。

2.低階無窮大：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$${\displaystyle \left.f(x)\right.}$在極限附近處必須滿足${\displaystyle \left.f(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}$時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$的低階無窮大。

3.同階無窮大：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$在極限附近處必須滿足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c}$（其中${\displaystyle c\in \mathbf {R} }$）時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$的同階無窮大。

4.階數：若${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$在極限附近處必須滿足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g^{m}(x)}}=c}$（其中${\displaystyle c,m\in \mathbf {R} }$）時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$${\displaystyle \left.m\right.}$階無窮大，${\displaystyle \left.m\right.}$是無窮大的階數。

### 等價無窮

#### 等價無窮大

${\displaystyle \lim _{}f(x)=\infty }$${\displaystyle \lim _{}g(x)=\infty }$${\displaystyle \left.f(x)\right.}$在極限附近處必須滿足${\displaystyle \left.f(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {g(x)}{f(x)}}=1}$時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$的等價無窮大。

#### 等價無窮小

${\displaystyle \lim _{}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{}g(x)=0}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$在極限附近處必須滿足${\displaystyle \left.g(x)\not =0\right.}$），當${\displaystyle \lim _{}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$時，稱${\displaystyle \left.f(x)\right.}$${\displaystyle \left.g(x)\right.}$的等價無窮小。

## 習題

1. 設數列${\displaystyle a_{n}}$等於${\displaystyle (-1)^{n}+1}$，問此數列的極限是否存在？
2. 求以下數列的極限，（下式中${\displaystyle n}$是正整數）
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {ln} n}{n}}=}$?