極限

讀者朋友請注意，本文有較多的公式，請將瀏覽器的字體調大(20號左右)，以便閱讀，謝謝！極限是指：某個函數中的一個變量，此變量在變大（或變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而「永遠不能重合到A」（永遠不能等於A，但已經取得足夠接近A的高精度計算結果）的過程。此變量永遠趨近的值A叫做「極限值」。

數列的極限

若數列 $A_{n}$ 有上界L，且 $a_{n + 1} > A_{n}$ ，則數列 $A_{n}$ 的極限 $M \leq L$ ，意即若 $lim_{n \to \infty} A_{n} = M$ ，則 M 的值不大於L

數列有界性的定義

若 $\exists A \in R$ 使得數列{ $x_{n}$ }恆滿足 $x_{n} \geq A$ ，則稱數列{ $x_{n}$ }有下界；若 $\exists B \in R$ 使得數列{ $x_{n}$ }恆滿足 $x_{n} \leq B$ ，則稱數列{ $x_{n}$ }有上界；若 $\exists A \in R$ 且 $\exists B \in R$ 使得數列{ $x_{n}$ }恆滿足 $B \geq x_{n} \geq A$ ，則稱數列{ $x_{n}$ }有界。

數列極限的定義

設{ $x_{n}$ }是一組數列， $y \in 𝐑$ 為常數，且 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ ，若 $\exists K \in 𝐙^{+}$ ，當 $n > K$ 時，下面不等式：

| x_{n} - y | < ε

恆成立，則稱數列{ $x_{n}$ }的極限存在，並稱常數 $y$ 為數列{ $x_{n}$ }的極限，通常記作：

lim_{n \to \infty} x_{n} = y

此時也稱{ $x_{n}$ }是一個收斂的數列。

性質

唯一性

若數列{ $x_{n}$ }收斂，則{ $x_{n}$ }的極限值是唯一的。

有界性

若數列{ $x_{n}$ }收斂，則{ $x_{n}$ }是有界數列。

保序性

若數列{ $x_{n}$ }與{ $y_{n}$ }都有極限。當 $n \geq m$ 時恆有 $x_{n} \geq y_{n}$ ，若 $lim_{n \to \infty} x = a$ 且 $lim_{n \to \infty} y = b$ ，則必有 $a \geq b$ 。

斯鐸茲（Otto-Stolz）法則

法則一

設 $lim_{n \to \infty} x = 0$ ， $lim_{n \to \infty} y = 0$ ，且數列{ $x_{n}$ }單調遞減。則當極限 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n + 1}}{y_{n} - y_{n + 1}}$ 存在時，極限 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ 存在，且 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n + 1}}{y_{n} - y_{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ ；當 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n + 1}}{y_{n} - y_{n + 1}} \to + \infty$ 時，有 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} \to + \infty$ 。

法則二

設 $lim_{n \to \infty} y \to + \infty$ ，數列{ $y_{n}$ }單調遞增，則當極限 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}}$ 存在時，極限 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ 存在，且 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ ；當 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}} \to + \infty$ 時，有 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} \to + \infty$ 。

函數的極限

一個函數 $f (x)$ ，若當 $x \to c$ 時， $f (x) \to L$ ，意即當 $x$ 在 $f (x)$ 上越來越趨近 $c$ 時， $f (x)$ 的值越來越趨近 $L$ ，一般記做 $lim_{x \to c} f (x) = L$

函數極限的定義

自變量趨於常數的極限

設函數 $f (x)$ 在 $a \in 𝐑$ 的某個去心鄰域 $(- ϵ, a) \cup (a, ϵ)$ 內有定義。若 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ ，總有 $\exists δ \in 𝐑^{+}$ ， $A \in 𝐑$ 使得當 $x$ 滿足 $| x - a | < δ$ 時，必有：

| f (x) - A | < ε

則稱函數 $f (x)$ 趨於常數 $a$ 的極限是 $A$ ，通常記作：

lim_{x \to a} f (x) = A

自變量趨於無窮的極限

1. 對於函數 $f (x)$ ，若 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ 且 $\exists A \in 𝐑$ ，總 $\exists X \in 𝐑^{+}$ ，當 $x > X$ 時必然滿足：

| f (x) - A | < ε

則稱函數 $f (x)$ 趨於正無窮大的極限是 $A$ ，通常記作：

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

2. 對於函數 $f (x)$ ，若 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ 且 $\exists A \in 𝐑$ ，總 $\exists X \in 𝐑^{-}$ ，當 $x < X$ 時必然滿足：

| f (x) - A | < ε

則稱函數 $f (x)$ 趨於負無窮大的極限是 $A$ ，通常記作：

lim_{x \to - \infty} f (x) = A

3. 對於函數 $f (x)$ ，若 $\forall ε \in 𝐑^{+}$ 且 $\exists A \in 𝐑$ ，總 $\exists X \in 𝐑$ ，當 $x > | X |$ 時必然滿足：

| f (x) - A | < ε

則稱函數 $f (x)$ 趨於無窮大的極限是 $A$ ，通常記作：

lim_{x \to \infty} f (x) = A

性質

唯一性

若函數 $f (x)$ 存在極限，則極限值唯一。

局部保序性

1. 設 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = a$ ， $lim_{x \to x_{0}} g (x) = b$ ，若 $\exists δ \in 𝐑^{+}$ ，當 $| x - x_{0} | < δ$ 時，都有 $f (x) \leq g (x)$ ，則 $a \leq b$ 。

2. 設 $lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ ， $lim_{x \to + \infty} g (x) = b$ ，若 $\exists X \in 𝐑^{+}$ ，當 $x > X$ 時，都有 $f (x) \leq g (x)$ ，則 $a \leq b$ 。

3. 設 $lim_{x \to - \infty} f (x) = a$ ， $lim_{x \to - \infty} g (x) = b$ ，若 $\exists X \in 𝐑^{-}$ ，當 $x < X$ 時，都有 $f (x) \leq g (x)$ ，則 $a \leq b$ 。

保號性（也稱正負不變性）

若 $lim_{x \to a} f (x) = A$ 且 $A ≠ 0$ ，則在 $a \in 𝐑$ 的某個去心鄰域 $(- ϵ, a) \cup (a, ϵ)$ 內存在一個區間 $U_{o}$ 滿足當 $x \in U_{o}$ 時， $f (x)$ 的值的正負性與 $A$ 保持一致。

海涅（Heine–Cantor）定理

設函數 $f (x)$ 在 $a \in 𝐑$ 的某個去心鄰域 $(- ϵ, a) \cup (a, ϵ)$ 內有定義，則：

lim_{x \to a} f (x) = A \Leftrightarrow lim_{n \to \infty} f (w_{n}) = A

其中數列{ $w_{n}$ }是 $a \in 𝐑$ 的某個去心鄰域 $(- ϵ, a) \cup (a, ϵ)$ 內任意一個收斂於 $a$ 的數列，且 $w_{n} ≠ a$ 。

羅比達法則 (l'Hôpital's rule)

若函數 $f (x)$ 與 $g (x)$ 在 $a$ 的一個去心鄰域內可導且 $g^{'} (x) ≠ 0$ ， $lim_{x \to a} f (x)$ 與 $lim_{x \to a} g (x)$ 的值同時等於0或同時趨於無窮，並且 $lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ 存在或趨於無窮，則：

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

幾個常用的極限

1. 設函數 $f (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ 其中 $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，則有 $lim_{x \to 0} f (x) = 1$ 。

2. 設數列{ $x_{n}$ }恆滿足 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ ，則有 $lim_{n \to \infty} x_{n} = e$ ，其中 $e$ 是自然對數的底數， $e \approx 2.712818 \dots$ 。

3. 設函數 $f (x) = (1 + \frac{1}{x})^{x}$ 其中 $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，則有 $lim_{x \to \infty} f (x) = e$ 。

4. 設函數 $f (x) = (1 - \frac{1}{x})^{x}$ 其中 $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，則有 $lim_{x \to \infty} f (x) = \frac{1}{e}$ 。

無窮的階

無窮大與無窮小的概念

1. 無窮小：通常稱以0為極限的變量或函數為無窮小。
2. 無窮大：若函數 $f (x)$ 在 $x \to x_{0}$ （或 $x \to \infty$ ）時， $| f (x) |$ 的值無窮增大，則稱函數 $f (x)$ 在 $x \to x_{0}$ （或 $x \to \infty$ ）時為無窮大。通常記作：

lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty

（或者

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

）。

高階、低階與同階

為了方便下面的討論，現在將 $lim_{x \to \infty}$ 與 $lim_{x \to c}$ （其中 $c \in 𝐑$ ），用符號 $lim_{}$ 來統一表示。

無窮小的高階、低階與同階

1.高階無窮小：若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $g (x)$ 在極限附近處滿足 $g (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ 時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的高階無窮小。通常記作：

f (x) = o (g (x))

（

x \to x_{0}

或者

x \to \infty

）

2.低階無窮小：若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $f (x)$ 在極限附近處滿足 $f (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{g (x)}{f (x)} = 0$ 時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的低階無窮小。

3.同階無窮小：若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $g (x)$ 在極限附近處滿足 $g (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = c$ （其中 $c \in 𝐑$ ）時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的同階無窮小。

4.階數：若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $g (x)$ 在極限附近處滿足 $g (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{f (x)}{g^{m} (x)} = c$ （其中 $c, m \in 𝐑$ ）時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的 $m$ 階無窮小， $m$ 是無窮小的階數。

無窮大的高階、低階與同階

1.高階無窮大：若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $f (x)$ 在極限附近處必須滿足 $f (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{g (x)}{f (x)} = 0$ 時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的高階無窮大。

2.低階無窮大：若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $f (x)$ 在極限附近處必須滿足 $f (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ 時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的低階無窮大。

3.同階無窮大：若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $g (x)$ 在極限附近處必須滿足 $g (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = c$ （其中 $c \in 𝐑$ ）時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的同階無窮大。

4.階數：若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $g (x)$ 在極限附近處必須滿足 $g (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{f (x)}{g^{m} (x)} = c$ （其中 $c, m \in 𝐑$ ）時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的 $m$ 階無窮大， $m$ 是無窮大的階數。

等價無窮

等價無窮大

若 $lim_{} f (x) = \infty$ 且 $lim_{} g (x) = \infty$ （ $f (x)$ 在極限附近處必須滿足 $f (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{g (x)}{f (x)} = 1$ 時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的等價無窮大。

等價無窮小

若 $lim_{} f (x) = 0$ 且 $lim_{} g (x) = 0$ （ $g (x)$ 在極限附近處必須滿足 $g (x) ≠ 0$ ），當 $lim_{} \frac{f (x)}{g (x)} = 1$ 時，稱 $f (x)$ 是 $g (x)$ 的等價無窮小。

極限與連續

參見函數的連續性

習題

設數列 $a_{n}$ 等於 $(- 1)^{n} + 1$ ，問此數列的極限是否存在？
求以下數列的極限，（下式中 $n$ 是正整數）

lim_{n \to \infty} \frac{l n n}{n} =

?