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極限是指:某個函數中的一個變量,此變量在變大(或變小)的永遠變化的過程中,逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而「永遠不能重合到A」(永遠不能等於A,但已經取得足夠接近A的高精度計算結果)的過程。此變量永遠趨近的值A叫做「極限值」。
若數列
有上界L,且
,則數列
的極限
,意即若
,則 M 的值不大於L
若
使得數列{
}恆滿足
,則稱數列{
}有下界;若
使得數列{
}恆滿足
,則稱數列{
}有上界;若
且
使得數列{
}恆滿足
,則稱數列{
}有界。
設{
}是一組數列,
為常數,且
,若
,當
時,下面不等式:
![{\displaystyle \left|x_{n}-y\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0e9ca06760109b4ad8cd3bbe6db63aaa515e7b)
恆成立,則稱數列{
}的極限存在,並稱常數
為數列{
}的極限,通常記作:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebefcaae8689b96a37d4d70e92428ac1887bfab)
此時也稱{
}是一個收斂的數列。
若數列{
}收斂,則{
}的極限值是唯一的。
若數列{
}收斂,則{
}是有界數列。
若數列{
}與{
}都有極限。當
時恆有
,若
且
,則必有
。
設
,
,且數列{
}單調遞減。則當極限
存在時,極限
存在,且
;當
時,有
。
設
,數列{
}單調遞增,則當極限
存在時,極限
存在,且
;當
時,有
。
一個函數
,若當
時,
,意即當
在
上越來越趨近
時,
的值越來越趨近
,一般記做
設函數
在
的某個去心鄰域
內有定義。若
,總有
,
使得當
滿足
時,必有:
![{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90a127d9145f59432c731eec38093e957d01d5)
則稱函數
趨於常數
的極限是
,通常記作:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d09d5bfa934b992c44e2ba31287020fdc87b7c)
1. 對於函數
,若
且
,總
,當
時必然滿足:
![{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90a127d9145f59432c731eec38093e957d01d5)
則稱函數
趨於正無窮大的極限是
,通常記作:
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc027b3aa73c211320eb72b7812b50785bdb774)
2. 對於函數
,若
且
,總
,當
時必然滿足:
![{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90a127d9145f59432c731eec38093e957d01d5)
則稱函數
趨於負無窮大的極限是
,通常記作:
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e534d2eda1522b7fb88d8e104ee2f0509301b8)
3. 對於函數
,若
且
,總
,當
時必然滿足:
![{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90a127d9145f59432c731eec38093e957d01d5)
則稱函數
趨於無窮大的極限是
,通常記作:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3412ba2adbd2a311cfb174bee1a16e45fa2311c0)
若函數
存在極限,則極限值唯一。
1. 設
,
,若
,當
時,都有
,則
。
2. 設
,
,若
,當
時,都有
,則
。
3. 設
,
,若
,當
時, 都有
,則
。
若
且
,則在
的某個去心鄰域
內存在一個區間
滿足當
時,
的值的正負性與
保持一致。
設函數
在
的某個去心鄰域
內有定義,則:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(w_{n})=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078624b0061278f6924b1b736fd339cfea94604e)
其中數列{
}是
的某個去心鄰域
內任意一個收斂於
的數列,且
。
若函數
與
在
的一個去心鄰域內可導且
,
與
的值同時等於0或同時趨於無窮,並且
存在或趨於無窮,則:
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2155b8000ae2c71bf69118ee014f782ac546290)
1. 設函數
其中
,則有
。
2. 設數列{
}恆滿足
,則有
,其中
是自然對數的底數,
。
3. 設函數
其中
,則有
。
4. 設函數
其中
,則有
。
1. 無窮小:通常稱以0為極限的變量或函數為無窮小。
2. 無窮大:若函數
在
(或
)時,
的值無窮增大,則稱函數
在
(或
)時為無窮大。通常記作:
(或者
)。
為了方便下面的討論,現在將
與
(其中
),用符號
來統一表示。
1.高階無窮小:若
且
(
在極限附近處滿足
),當
時,稱
是
的高階無窮小。通常記作:
(
或者
)
2.低階無窮小:若
且
(
在極限附近處滿足
),當
時,稱
是
的低階無窮小。
3.同階無窮小:若
且
(
在極限附近處滿足
),當
(其中
)時,稱
是
的同階無窮小。
4.階數:若
且
(
在極限附近處滿足
),當
(其中
)時,稱
是
的
階無窮小,
是無窮小的階數。
1.高階無窮大:若
且
(
在極限附近處必須滿足
),當
時,稱
是
的高階無窮大。
2.低階無窮大:若
且
(
在極限附近處必須滿足
),當
時,稱
是
的低階無窮大。
3.同階無窮大:若
且
(
在極限附近處必須滿足
),當
(其中
)時,稱
是
的同階無窮大。
4.階數:若
且
(
在極限附近處必須滿足
),當
(其中
)時,稱
是
的
階無窮大,
是無窮大的階數。
若
且
(
在極限附近處必須滿足
),當
時,稱
是
的等價無窮大。
若
且
(
在極限附近處必須滿足
),當
時,稱
是
的等價無窮小。
參見函數的連續性
- 設數列
等於
,問此數列的極限是否存在?
- 求以下數列的極限,(下式中
是正整數)
?