高中数学/选修课本/系列二/选修2-2/第一章

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1.1变化率与导数[编辑]

问题引入[编辑]

问题一 气球膨胀率

很多人都吹过气球。

回忆一下吹气球的过程,我们可以发现,随着我们吹气的量的增加,气球的半径会增加的越来越慢。

该怎么从数学的角度描述这种现象呢?

如果将吹起的气球看做是球体,它的体积V和半径r之间的关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

r(V)=

当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了

[r(1)-r(0)]/1-0≈0.62(dm)

气球的平均膨胀率为

[r(1)-r(0)]/1-0≈0.16(dm/L)

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐减少了。

如果上述问题的函数关系用y=f(x)表示,那么问题中的变化率可用式子 f(x2)-f(x1)/x2-x1 表示。

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。

习惯上用Δx表示x2-x1,就是Δx=x2-x1 可以把Δ看做是相对于x1的一个增量,可用x1+Δx代替x2。

类似地 Δy=f(x2)-f(x1) 于是 平均变化率可表示为 Δy/Δx