高中數學/選修課本/系列二/選修2-2/第一章
外觀
1.1變化率與導數
[編輯]問題引入
[編輯]問題一 氣球膨脹率
很多人都吹過氣球。
回憶一下吹氣球的過程,我們可以發現,隨着我們吹氣的量的增加,氣球的半徑會增加的越來越慢。
該怎麼從數學的角度描述這種現象呢?
如果將吹起的氣球看做是球體,它的體積V和半徑r之間的關係是
如果將半徑r表示為體積V的函數,那麼
r(V)=
當空氣容量V從0增加到1L時,氣球半徑增加了
[r(1)-r(0)]/1-0≈0.62(dm)
氣球的平均膨脹率為
[r(1)-r(0)]/1-0≈0.16(dm/L)
可以看出,隨着氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸減少了。
如果上述問題的函數關係用y=f(x)表示,那麼問題中的變化率可用式子 f(x2)-f(x1)/x2-x1 表示。
我們把這個式子稱為函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率。
習慣上用Δx表示x2-x1,就是Δx=x2-x1 可以把Δ看做是相對於x1的一個增量,可用x1+Δx代替x2。
類似地 Δy=f(x2)-f(x1) 於是 平均變化率可表示為 Δy/Δx