1.1变化率与导数[编辑]

问题引入[编辑]

问题一气球膨胀率

很多人都吹过气球。

回忆一下吹气球的过程，我们可以发现，随着我们吹气的量的增加，气球的半径会增加的越来越慢。

该怎么从数学的角度描述这种现象呢？

如果将吹起的气球看做是球体，它的体积V和半径r之间的关系是

$V(r)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

如果将半径r表示为体积V的函数，那么

r(V)=

当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了

[r(1)-r(0)]/1-0≈0.62(dm)

气球的平均膨胀率为

[r(1)-r(0)]/1-0≈0.16(dm/L)

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐减少了。

如果上述问题的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子 f(x2)-f(x1)/x2-x1 表示。

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。

习惯上用Δx表示x2-x1，就是Δx=x2-x1 可以把Δ看做是相对于x1的一个增量，可用x1+Δx代替x2。

类似地 Δy=f(x2)-f(x1) 于是平均变化率可表示为 Δy/Δx