1.1變化率與導數[編輯]

問題引入[編輯]

問題一氣球膨脹率

很多人都吹過氣球。

回憶一下吹氣球的過程，我們可以發現，隨着我們吹氣的量的增加，氣球的半徑會增加的越來越慢。

該怎麼從數學的角度描述這種現象呢？

如果將吹起的氣球看做是球體，它的體積V和半徑r之間的關係是

$V(r)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

如果將半徑r表示為體積V的函數，那麼

r(V)=

當空氣容量V從0增加到1L時，氣球半徑增加了

[r(1)-r(0)]/1-0≈0.62(dm)

氣球的平均膨脹率為

[r(1)-r(0)]/1-0≈0.16(dm/L)

可以看出，隨着氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸減少了。

如果上述問題的函數關係用y=f(x)表示，那麼問題中的變化率可用式子 f(x2)-f(x1)/x2-x1 表示。

我們把這個式子稱為函數y=f(x)從x1到x2的平均變化率。

習慣上用Δx表示x2-x1，就是Δx=x2-x1 可以把Δ看做是相對於x1的一個增量，可用x1+Δx代替x2。

類似地 Δy=f(x2)-f(x1) 於是平均變化率可表示為 Δy/Δx