高中物理/力與運動/匀变速直线运动

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中物理的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。对于更广泛的读者而言，考试中的某些易错点可能包括出题者人为设置的陷阱，其目标只是为了在不同细心程度的学生们之间拉开分数差距，熟悉它们并不全都有助于理解本学科的知识精髓。

基础知识

定义

定义1：物体在一条直线上运动，且在任意相等的时间间隔内的速度的变化量相等，这种运动称为“匀变速直线运动”（uniform variable rectilinear motion）。

定义2：匀变速直线运动是加速度不变的直线运动。

注意：加速度与初速度方向相同，可称为匀加速直线运动；加速度与初速度方向相反，可称为匀减速直线运动；但若物体运动途中速度改变方向，这两种就都不算了。

4个基本公式

先由加速度的定义式${\boldsymbol {a}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {v}}}{\Delta t}}$ 可知$\Delta {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {a}}\Delta t$。注意到$\Delta {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v_{t}}}-{\boldsymbol {v_{0}}}$， 其中${\boldsymbol {v_{0}}}$是匀变速直线运动的初速度，${\boldsymbol {v_{t}}}$是末速度。由此得到重要公式： ${\boldsymbol {v_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}{\Delta t}$

另一方面，根据位移、时间与平均速度的关系可得： $\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}={\frac {({\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {v_{t}}})\Delta t}{2}}={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$

如果将$t={\frac {v_{t}-v_{0}}{a}}$带入上面的式子，还可以得到$\Delta x={\frac {v_{t}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}$。（这2个公式是非矢量形式的表达。）

由此，可以看出，只要$v_{0}$、$v_{t}$、$a$、$t$、这4个物理量中知道了3个，就可以求出t时刻的位移了。

4个基本公式列举如下：

• 基于加速度a的定义：$\Delta {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {a}}\Delta t$或${\boldsymbol {v_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}{\Delta t}$
• 平均速度公式：$\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}={\frac {({\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {v_{t}}})\Delta t}{2}}$
• 位移随时间的变化：$\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$
• 初、末速度的平方差：$v_{t}^{2}-v_{0}^{2}=2a\Delta x$

大部分基础题都是给出其中的3个物理量，然后寻找包含已知量较多的公式，求剩下的1个或2个未知量。有些难题则可能不方便直接一步一步求解，需要联立方程组，或是使用特殊情形下的结论才能得到简便解法。

常用结论与常见模型

易错点：求“第几秒内的位移”和“第几秒末的位移”的区别

这类问题经常只有1个字的细微区别，但是如果审题时没有足够留意，会导致所求量的含义完全不同。这是考试中利用文字游戏设置陷阱的做法。

易错点：刹车问题与减速后折返问题

相关例题1：汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是$x=24t-6t^{2}$，求它在前3秒内的位移大小。

相关例题2：小球以$v_{0}=6m/s$的初速度从中间滑上表面光滑且足够长的斜面，且小球在斜面上运动时的加速度大小为$2m/s^{2}$、加速度方向不变。问小球速度大小为$3m/s$时运动了多少时间？

规律与结论：平均速度与中间时刻瞬时速度的关系

考虑匀变速直线运动的平均速度，则有： ${\bar {v}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}}{t}}={\frac {{\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}}{t}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {1}{2}}a\Delta t={\boldsymbol {v_{\frac {t}{2}}}}$

这说明匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度。这可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

相关例题1： 一物体做匀变速直线运动，依次经过A、B、C三个点。已知AB = BC，且质点在AB段运动的平均速度大小为$3m/s$，在BC段运动的平均速度大小为$6m/s$。求质点在B点的瞬时速度大小。

提示：质点在做匀变速运动，通过AB与BC段的所用时间长度并不相等，所以所求的在B时刻的瞬时速度大小并不等于在AB段的平均速度大小和在BC段的平均速度大小的算术平均数。但可以根据已知条件估算质点通过这两段路所用的时间之比。

解答：
设质点在AB段上运动的时间为$t_{1}$，在BC段上运动的时间为$t_{2}$，加速度大小为a，在B点处的瞬时速度大小为$v_{B}$。
根据题意可知两段距离AB和BC相等，利用$x={\bar {v}}t$对两端位移分别列式可得：$3\times t_{1}={\bar {AB}}={\bar {BC}}=6\times t_{2}$，即有$t_{1}=2t_{2}$。
又因为质点通过AB段的中间时刻的瞬时速度$v_{1}={\bar {AB}}=3m/s$，通过BC段的中间时刻的瞬时速度$v_{2}={\bar {BC}}=6m/s$，
将得到的速度带入$v_{2}-v_{1}=a({\frac {t_{1}}{2}}+{\frac {t_{2}}{2}})$可以求出a。再根据$v_{B}-v_{1}=a{\frac {t_{1}}{2}}$可以求出$v_{B}=5m/s$。

答案：$5m/s$。

相关例题2：一物体做匀加速直线运动，通过一段长为L的位移所用的时间为$t_{1}$，紧接着又通过一段同样长为L的位移所用的时间为$t_{2}$，求物体运动的加速度大小。

规律与结论：平均速度与中间位置瞬时速度的关系

设匀变速直线运动的初速度大小为$v_{0}$，加速度大小为$a$，末速度大小为$v_{t}$，位移大小为$x$，物体经过这段位移的中点时的速度为$v_{x/2}$。则：
对于前半段位移${\frac {x}{2}}$可以得到：$v_{\frac {x}{2}}^{2}-v_{0}^{2}=2a\cdot {\frac {x}{2}}$；
对于后半段位移${\frac {x}{2}}$可以得到：$v_{t}^{2}-v_{\frac {x}{2}}^{2}=2a\cdot {\frac {x}{2}}$；
联立这2个式子可以解得：$v_{\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {v_{0}^{2}+v_{t}^{2}}{2}}}$。

如果分析v-t图像的面积特点，还可以得到：不论加速还是减速，在匀变速直线运动中一定有$v_{\frac {x}{2}}>v_{\frac {t}{2}}$成立。

相关例题： 一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为$L$，火车头经过某路标时的速度为$v_{1}$，或车尾经过此路标时的速度为$v_{2}$，求：
(1)火车的加速度大小a；
(2)火车中点经过此路标时的速度v；
(3)整列火车通过此路标所用的时间t。

提示：火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动。此质点在初始时刻的速度为$v_{1}$，前进了大小为$L$的位移后，速度变为$v_{2}$，所求的v是经过${\frac {L}{2}}$处的速度。

解答：
(1)由匀加速直线运动公式$v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2aL$，可得：$a={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2L}}$。
(2)对两段位移分别列式：
前一半位移：$v^{2}-v_{1}^{2}=2a\cdot {\frac {L}{2}}$；
后一半位移：$v_{2}^{2}-v^{2}=2a\cdot {\frac {L}{2}}$；
即$v^{2}-v_{1}^{2}=v_{2}^{2}-v^{2}$，所以$v={\sqrt {\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}{2}}}$。
(3)根据火车在这段时间内的平均速度${\bar {v}}={\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}$，可得所用时间为 $t={\frac {L}{\bar {v}}}={\frac {L}{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}}={\frac {2L}{v_{1}+v_{2}}}$。

答案：(1)$a={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2L}}$；(2)$v={\sqrt {\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}{2}}}$；(3)$t={\frac {2L}{v_{1}+v_{2}}}$。

规律与结论：逐差相等

在匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔$\Delta t$内，位移之差是一个常量，即$\Delta x=a(\Delta t)^{2}$。

假设物体依次经过$x_{1}$、$x_{2}$、$x_{3}$这3个点，且经过相邻2点所用的时间间隔都是$\Delta t$，那么有： $x_{1}={\frac {1}{2}}at^{2},\ x_{2}={\frac {1}{2}}a(t+\Delta t)^{2},\ x_{3}={\frac {1}{2}}a(t+2\Delta t)^{2}$

从点$x_{1}$运动到点$x_{2}$的位移为：$x_{12}=x_{2}-x_{1}={\frac {1}{2}}a((t+\Delta t)^{2}-t^{2})={\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+(\Delta t)^{2})$
从点$x_{2}$运动到点$x_{3}$的位移为：$x_{23}=x_{3}-x_{2}={\frac {1}{2}}a((t+2\Delta t)^{2}-(t+\Delta t)^{2})={\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+3(\Delta t)^{2})$

因此在时长相同的相邻的2段距离中的位移之差为：$x_{23}-x_{12}={\frac {1}{2}}a\cdot 2(\Delta t)^{2}=a(\Delta t)^{2}$

知识背景：从等差数列问题的角度看，因为位移关于时间的表达式是离散的二次函数，所以它的二阶差分结果必为常数。

图像分析

从 ${\boldsymbol {v_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}{\Delta t}$ 可以看出在匀变速直线运动中，速度与时刻呈一次函数关系。因此，匀变速直线运动的v-t图像是一条不与x轴平行的直线。

因此，它与坐标轴围成的图像是一个梯形，梯形的面积也就是匀变速直线运动的的位移。

${\bar {v}}={\boldsymbol {v_{\frac {t}{2}}}}$ 匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度这一规律，可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

知识背景：如果推广到更一般的情形，分析任何函数曲线图中面积和斜率的含义，都可以直接利用量纲分析的方法。

补充习题

• 一个物块从一个光滑且足够长的固定斜面顶端O点由静止释放后，先后通过斜面上的P、Q、N三点。已知物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间相等，且PQ长度为3m，QN长度为4m。求OP的长度。

解法1：
首先，由初速度为零易知:
$x_{P}={\frac {1}{2}}at_{P}^{2},\ x_{Q}={\frac {1}{2}}at_{Q}^{2},\ x_{N}={\frac {1}{2}}at_{N}^{2}$
其次,对已知的2段距离作比例式可得：
${\begin{aligned}{\frac {4}{3}}&={\frac {x_{N}-x_{Q}}{x_{Q}-x_{P}}}={\frac {{\frac {1}{2}}at_{N}^{2}-{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}}{{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}-{\frac {1}{2}}at_{P}^{2}}}={\frac {t_{N}^{2}-t_{Q}^{2}}{t_{Q}^{2}-t_{P}^{2}}}={\frac {(t_{N}+t_{Q})(t_{N}-t_{Q})}{(t_{Q}+t_{P})(t_{Q}-t_{P})}}\\&={\frac {(t_{N}+t_{Q})\Delta t}{(t_{Q}+t_{P})\Delta t}}={\frac {t_{N}+t_{Q}}{t_{Q}+t_{P}}}={\frac {(t_{Q}+\Delta t)+t_{Q}}{t_{Q}+(t_{Q}-\Delta t)}}={\frac {2t_{Q}+\Delta t}{2t_{Q}-\Delta t}}\\\end{aligned}}$
即有${\frac {4}{3}}={\frac {2t_{Q}+\Delta t}{2t_{Q}-\Delta t}}\Rightarrow t_{Q}=3.5\Delta t$。
最后将要求的x_P比上一段与其有关的距离x_Q可得：
${\frac {x_{P}}{x_{P}+3}}={\frac {x_{P}}{x_{Q}}}={\frac {{\frac {1}{2}}at_{P}^{2}}{{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}}}=({\frac {t_{P}}{t_{Q}}})^{2}=({\frac {t_{Q}-\Delta t}{t_{Q}}})^{2}=({\frac {3.5\Delta t-\Delta t}{3.5\Delta t}})^{2}=({\frac {5}{7}})^{2}$
即有${\frac {x_{P}}{x_{P}+3}}=({\frac {5}{7}})^{2}\Rightarrow x_{P}={\frac {25}{8}}$。

解法2：
根据题意，先列出下列各个式子(其中$\Delta t$为题中所给的2段相同时间间隔之一)：
$\left\{{\begin{array}{lr}v_{Q}-0=at_{Q}&...(1)\\{\bar {v}}_{OQ}\cdot t_{Q}={\frac {v_{Q}-0}{2}}\cdot t_{Q}=x_{Q}&...(2)\\v_{Q}={\frac {3+4}{2\Delta t}}&...(3)\\4-3=a(\Delta t)^{2}&...(4)\\\end{array}}\right.$

求解思路(按顺序依次求出或表示出)：$\Delta t\rightarrow a\rightarrow t_{Q}\rightarrow x_{Q}\rightarrow x_{P}$。
首先由(3)式有$\Delta t={\frac {7}{2v_{Q}}}$，其次由(4)式有$a={\frac {1}{(\Delta t)^{2}}}={\frac {1}{({\frac {7}{2v_{Q}}})^{2}}}={\frac {4v_{Q}^{2}}{49}}$，
再其次由(1)式有$t_{Q}={\frac {v_{Q}}{a}}={\frac {v_{Q}}{\frac {4v_{Q}^{2}}{49}}}={\frac {49}{4v_{Q}}}$，
再其次由(2)式有$x_{Q}={\frac {v_{Q}}{2}}\cdot t_{Q}={\frac {v_{Q}}{2}}\cdot ({\frac {49}{4v_{Q}}})={\frac {49}{8}}$，
最后可得所求的答案$x_{P}=x_{Q}-3={\frac {49}{8}}-3={\frac {25}{8}}$。

此外，$v_{Q}^{2}-0^{2}=2ax_{Q}$是由式(1)和式(2)联合推导而来的，并非独立规律，所以当已经列出前2个式子时不能再重复列出此式。

答案：${\frac {25}{8}}$。