高中物理/力與運動/勻變速直線運動

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閱讀指南[編輯]

希望快速了解或快速回顧高中物理的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。對於更廣泛的讀者而言,考試中的某些易錯點可能包括出題者人為設置的陷阱,其目標只是為了在不同細心程度的學生們之間拉開分數差距,熟悉它們並不全都有助於理解本學科的知識精髓。

基礎知識[編輯]

定義[編輯]

定義1:物體在一條直線上運動,且在任意相等的時間間隔內的速度的變化量相等,這種運動稱為「勻變速直線運動」(uniform variable rectilinear motion)。

定義2:勻變速直線運動是加速度不變的直線運動。[1]

Crystal Clear action info注意:加速度與初速度方向相同,可稱為勻加速直線運動;加速度與初速度方向相反,可稱為勻減速直線運動;但若物體運動途中速度改變方向,這兩種就都不算了。

4個基本公式[編輯]

先由加速度的定義式 可知。注意到, 其中是勻變速直線運動的初速度,是末速度。由此得到重要公式:

另一方面,根據位移、時間與平均速度的關係可得:

如果將帶入上面的式子,還可以得到。(這2個公式是非向量形式的表達。)

由此,可以看出,只要、這4個物理量中知道了3個,就可以求出t時刻的位移了。

Crystal Project Warehause 4個基本公式列舉如下[2][3]

  • 基於加速度a的定義:
  • 平均速度公式:
  • 位移隨時間的變化:
  • 初、末速度的平方差:

大部分基礎題都是給出其中的3個物理量,然後尋找包含已知量較多的公式,求剩下的1個或2個未知量。有些難題則可能不方便直接一步一步求解,需要聯立方程組,或是使用特殊情形下的結論才能得到簡便解法。

常用結論與常見模型[編輯]

易錯點:求「第幾秒內的位移」和「第幾秒末的位移」的區別[編輯]

這類問題經常只有1個字的細微區別,但是如果審題時沒有足夠留意,會導致所求量的含義完全不同。這是考試中利用文字遊戲設置陷阱的做法。

易錯點:剎車問題與減速後折返問題[編輯]

Crystal Clear action edit 相關例題1:汽車在水平面上剎車,其位移與時間的關係是,求它在前3秒內的位移大小。

Crystal Clear action edit 相關例題2:小球以的初速度從中間滑上表面光滑且足夠長的斜面,且小球在斜面上運動時的加速度大小為、加速度方向不變。問小球速度大小為時運動了多少時間?

模型:追及問題與相遇問題[編輯]

規律與結論:平均速度與中間時刻瞬時速度的關係[編輯]

考慮勻變速直線運動的平均速度,則有:

這說明勻變速直線運動的平均速度等於其中間時刻的速度。這可以與梯形面積等於中位線乘高相類比。

Crystal Clear action edit 相關例題1: 一物體做勻變速直線運動,依次經過A、B、C三個點。已知AB = BC,且質點在AB段運動的平均速度大小為,在BC段運動的平均速度大小為。求質點在B點的瞬時速度大小。

提示:質點在做勻變速運動,通過AB與BC段的所用時間長度並不相等,所以所求的在B時刻的瞬時速度大小並不等於在AB段的平均速度大小和在BC段的平均速度大小的算術平均數。但可以根據已知條件估算質點通過這兩段路所用的時間之比。

解答:
設質點在AB段上運動的時間為,在BC段上運動的時間為,加速度大小為a,在B點處的瞬時速度大小為
根據題意可知兩段距離AB和BC相等,利用對兩端位移分別列式可得:,即有
又因為質點通過AB段的中間時刻的瞬時速度,通過BC段的中間時刻的瞬時速度
將得到的速度帶入可以求出a。再根據可以求出

答案:

Crystal Clear action edit 相關例題2:一物體做勻加速直線運動,通過一段長為L的位移所用的時間為,緊接著又通過一段同樣長為L的位移所用的時間為,求物體運動的加速度大小。

規律與結論:平均速度與中間位置瞬時速度的關係[編輯]

設勻變速直線運動的初速度大小為,加速度大小為,末速度大小為,位移大小為,物體經過這段位移的中點時的速度為。則:
對於前半段位移可以得到:
對於後半段位移可以得到:
聯立這2個式子可以解得:

如果分析v-t圖像的面積特點,還可以得到:不論加速還是減速,在勻變速直線運動中一定有成立。

Crystal Clear action edit 相關例題: 一列從車站開出的火車,在平直軌道上做勻加速直線運動,已知這列火車的長度為,火車頭經過某路標時的速度為,或車尾經過此路標時的速度為,求:
(1)火車的加速度大小a;
(2)火車中點經過此路標時的速度v;
(3)整列火車通過此路標所用的時間t。

提示:火車的運動情況可以等效成一個質點做勻加速直線運動。此質點在初始時刻的速度為,前進了大小為的位移後,速度變為,所求的v是經過處的速度。

解答:
(1)由勻加速直線運動公式,可得:
(2)對兩段位移分別列式:
前一半位移:
後一半位移:
,所以
(3)根據火車在這段時間內的平均速度,可得所用時間為

答案:(1);(2);(3)

規律與結論:逐差相等[編輯]

在勻變速直線運動中,任意兩個連續相等的時間間隔內,位移之差是一個常量,即

假設物體依次經過這3個點,且經過相鄰2點所用的時間間隔都是,那麼有:

從點運動到點的位移為:
從點運動到點的位移為:

因此在時長相同的相鄰的2段距離中的位移之差為:

Crystal Clear app 3d 知識背景:從等差數列問題的角度看,因為位移關於時間的表達式是離散的二次函數,所以它的二階差分結果必為常數。

規律與結論:比例關係[編輯]

圖像分析[編輯]

可以看出在勻變速直線運動中,速度與時刻呈一次函數關係。因此,勻變速直線運動的v-t圖像是一條不與x軸平行的直線

因此,它與坐標軸圍成的圖像是一個梯形,梯形的面積也就是勻變速直線運動的的位移。[4]

勻變速直線運動的平均速度等於其中間時刻的速度這一規律,可以與梯形面積等於中位線乘高相類比。

Crystal Clear app kdict 知識背景:如果推廣到更一般的情形,分析任何函數曲線圖中面積和斜率的含義,都可以直接利用量綱分析的方法。

補充習題[編輯]

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  • 一個物塊從一個光滑且足夠長的固定斜面頂端O點由靜止釋放後,先後通過斜面上的P、Q、N三點。已知物塊從P點運動到Q點與從Q點運動到N點所用的時間相等,且PQ長度為3m,QN長度為4m。求OP的長度。

解法1:
首先,由初速度為零易知:

其次,對已知的2段距離作比例式可得:

即有
最後將要求的x_P比上一段與其有關的距離x_Q可得:

即有

解法2:
根據題意,先列出下列各個式子(其中為題中所給的2段相同時間間隔之一):

求解思路(按順序依次求出或表示出):
首先由(3)式有,其次由(4)式有
再其次由(1)式有
再其次由(2)式有
最後可得所求的答案

此外,是由式(1)和式(2)聯合推導而來的,並非獨立規律,所以當已經列出前2個式子時不能再重複列出此式。

答案:

參考資料[編輯]

  1. 人民教育出版社物理室. 第2章「直線運動」第2.5節「速度改變快慢的描述 加速度」. 物理. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第1冊 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 29. ISBN 7-107-16484-8 (中文(中國大陸)). 
  2. 馬特·巴蘭德 (Mat Buckland). 第1章「數學和物理學初探」第1.2節「物理學」第1.2.6小節「加速度」. (編) 王琳. Programming Game AI by Example [遊戲人工智慧編程案例精粹]. 羅岱 (等人) 1. 中國北京市崇文區夕照寺街14號: 人民郵電出版社. 2008: 22–26. ISBN 978-7-115-17806-0 (中文(中國大陸)). 
  3. 人民教育出版社物理室. 第2章「直線運動」第2.6節「勻變速直線運動的規律」和第2.7節「勻變速直線運動規律的應用」. 物理. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第1冊 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 30–36. ISBN 7-107-16484-8 (中文(中國大陸)). 
  4. 人民教育出版社物理室. 第2章「直線運動」第2.6節「勻變速直線運動的規律」中的「閱讀材料」部分. 物理. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第1冊 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 32–33. ISBN 7-107-16484-8 (中文(中國大陸)).