高中物理/力與運動/勻變速直線運動

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中物理的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。對於更廣泛的讀者而言，考試中的某些易錯點可能包括出題者人為設置的陷阱，其目標只是為了在不同細心程度的學生們之間拉開分數差距，熟悉它們並不全都有助於理解本學科的知識精髓。

基礎知識

定義

定義1：物體在一條直線上運動，且在任意相等的時間間隔內的速度的變化量相等，這種運動稱為「勻變速直線運動」（uniform variable rectilinear motion）。

定義2：勻變速直線運動是加速度不變的直線運動。

注意：加速度與初速度方向相同，可稱為勻加速直線運動；加速度與初速度方向相反，可稱為勻減速直線運動；但若物體運動途中速度改變方向，這兩種就都不算了。

4個基本公式

先由加速度的定義式${\boldsymbol {a}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {v}}}{\Delta t}}$ 可知$\Delta {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {a}}\Delta t$。注意到$\Delta {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v_{t}}}-{\boldsymbol {v_{0}}}$， 其中${\boldsymbol {v_{0}}}$是勻變速直線運動的初速度，${\boldsymbol {v_{t}}}$是末速度。由此得到重要公式： ${\boldsymbol {v_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}{\Delta t}$

另一方面，根據位移、時間與平均速度的關係可得： $\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}={\frac {({\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {v_{t}}})\Delta t}{2}}={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$

如果將$t={\frac {v_{t}-v_{0}}{a}}$帶入上面的式子，還可以得到$\Delta x={\frac {v_{t}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}$。（這2個公式是非矢量形式的表達。）

由此，可以看出，只要$v_{0}$、$v_{t}$、$a$、$t$、這4個物理量中知道了3個，就可以求出t時刻的位移了。

4個基本公式列舉如下：

• 基於加速度a的定義：$\Delta {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {a}}\Delta t$或${\boldsymbol {v_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}{\Delta t}$
• 平均速度公式：$\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}={\frac {({\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {v_{t}}})\Delta t}{2}}$
• 位移隨時間的變化：$\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$
• 初、末速度的平方差：$v_{t}^{2}-v_{0}^{2}=2a\Delta x$

大部分基礎題都是給出其中的3個物理量，然後尋找包含已知量較多的公式，求剩下的1個或2個未知量。有些難題則可能不方便直接一步一步求解，需要聯立方程組，或是使用特殊情形下的結論才能得到簡便解法。

常用結論與常見模型

易錯點：求「第幾秒內的位移」和「第幾秒末的位移」的區別

這類問題經常只有1個字的細微區別，但是如果審題時沒有足夠留意，會導致所求量的含義完全不同。這是考試中利用文字遊戲設置陷阱的做法。

易錯點：剎車問題與減速後折返問題

相關例題1：汽車在水平面上剎車，其位移與時間的關係是$x=24t-6t^{2}$，求它在前3秒內的位移大小。

相關例題2：小球以$v_{0}=6m/s$的初速度從中間滑上表面光滑且足夠長的斜面，且小球在斜面上運動時的加速度大小為$2m/s^{2}$、加速度方向不變。問小球速度大小為$3m/s$時運動了多少時間？

規律與結論：平均速度與中間時刻瞬時速度的關係

考慮勻變速直線運動的平均速度，則有： ${\bar {v}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}}{t}}={\frac {{\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}}{t}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {1}{2}}a\Delta t={\boldsymbol {v_{\frac {t}{2}}}}$

這說明勻變速直線運動的平均速度等於其中間時刻的速度。這可以與梯形面積等於中位線乘高相類比。

相關例題1： 一物體做勻變速直線運動，依次經過A、B、C三個點。已知AB = BC，且質點在AB段運動的平均速度大小為$3m/s$，在BC段運動的平均速度大小為$6m/s$。求質點在B點的瞬時速度大小。

提示：質點在做勻變速運動，通過AB與BC段的所用時間長度並不相等，所以所求的在B時刻的瞬時速度大小並不等於在AB段的平均速度大小和在BC段的平均速度大小的算術平均數。但可以根據已知條件估算質點通過這兩段路所用的時間之比。

解答：
設質點在AB段上運動的時間為$t_{1}$，在BC段上運動的時間為$t_{2}$，加速度大小為a，在B點處的瞬時速度大小為$v_{B}$。
根據題意可知兩段距離AB和BC相等，利用$x={\bar {v}}t$對兩端位移分別列式可得：$3\times t_{1}={\bar {AB}}={\bar {BC}}=6\times t_{2}$，即有$t_{1}=2t_{2}$。
又因為質點通過AB段的中間時刻的瞬時速度$v_{1}={\bar {AB}}=3m/s$，通過BC段的中間時刻的瞬時速度$v_{2}={\bar {BC}}=6m/s$，
將得到的速度帶入$v_{2}-v_{1}=a({\frac {t_{1}}{2}}+{\frac {t_{2}}{2}})$可以求出a。再根據$v_{B}-v_{1}=a{\frac {t_{1}}{2}}$可以求出$v_{B}=5m/s$。

答案：$5m/s$。

相關例題2：一物體做勻加速直線運動，通過一段長為L的位移所用的時間為$t_{1}$，緊接着又通過一段同樣長為L的位移所用的時間為$t_{2}$，求物體運動的加速度大小。

規律與結論：平均速度與中間位置瞬時速度的關係

設勻變速直線運動的初速度大小為$v_{0}$，加速度大小為$a$，末速度大小為$v_{t}$，位移大小為$x$，物體經過這段位移的中點時的速度為$v_{x/2}$。則：
對於前半段位移${\frac {x}{2}}$可以得到：$v_{\frac {x}{2}}^{2}-v_{0}^{2}=2a\cdot {\frac {x}{2}}$；
對於後半段位移${\frac {x}{2}}$可以得到：$v_{t}^{2}-v_{\frac {x}{2}}^{2}=2a\cdot {\frac {x}{2}}$；
聯立這2個式子可以解得：$v_{\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {v_{0}^{2}+v_{t}^{2}}{2}}}$。

如果分析v-t圖像的面積特點，還可以得到：不論加速還是減速，在勻變速直線運動中一定有$v_{\frac {x}{2}}>v_{\frac {t}{2}}$成立。

相關例題： 一列從車站開出的火車，在平直軌道上做勻加速直線運動，已知這列火車的長度為$L$，火車頭經過某路標時的速度為$v_{1}$，或車尾經過此路標時的速度為$v_{2}$，求：
(1)火車的加速度大小a；
(2)火車中點經過此路標時的速度v；
(3)整列火車通過此路標所用的時間t。

提示：火車的運動情況可以等效成一個質點做勻加速直線運動。此質點在初始時刻的速度為$v_{1}$，前進了大小為$L$的位移後，速度變為$v_{2}$，所求的v是經過${\frac {L}{2}}$處的速度。

解答：
(1)由勻加速直線運動公式$v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2aL$，可得：$a={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2L}}$。
(2)對兩段位移分別列式：
前一半位移：$v^{2}-v_{1}^{2}=2a\cdot {\frac {L}{2}}$；
後一半位移：$v_{2}^{2}-v^{2}=2a\cdot {\frac {L}{2}}$；
即$v^{2}-v_{1}^{2}=v_{2}^{2}-v^{2}$，所以$v={\sqrt {\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}{2}}}$。
(3)根據火車在這段時間內的平均速度${\bar {v}}={\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}$，可得所用時間為 $t={\frac {L}{\bar {v}}}={\frac {L}{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}}={\frac {2L}{v_{1}+v_{2}}}$。

答案：(1)$a={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2L}}$；(2)$v={\sqrt {\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}{2}}}$；(3)$t={\frac {2L}{v_{1}+v_{2}}}$。

規律與結論：逐差相等

在勻變速直線運動中，任意兩個連續相等的時間間隔$\Delta t$內，位移之差是一個常量，即$\Delta x=a(\Delta t)^{2}$。

假設物體依次經過$x_{1}$、$x_{2}$、$x_{3}$這3個點，且經過相鄰2點所用的時間間隔都是$\Delta t$，那麼有： $x_{1}={\frac {1}{2}}at^{2},\ x_{2}={\frac {1}{2}}a(t+\Delta t)^{2},\ x_{3}={\frac {1}{2}}a(t+2\Delta t)^{2}$

從點$x_{1}$運動到點$x_{2}$的位移為：$x_{12}=x_{2}-x_{1}={\frac {1}{2}}a((t+\Delta t)^{2}-t^{2})={\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+(\Delta t)^{2})$
從點$x_{2}$運動到點$x_{3}$的位移為：$x_{23}=x_{3}-x_{2}={\frac {1}{2}}a((t+2\Delta t)^{2}-(t+\Delta t)^{2})={\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+3(\Delta t)^{2})$

因此在時長相同的相鄰的2段距離中的位移之差為：$x_{23}-x_{12}={\frac {1}{2}}a\cdot 2(\Delta t)^{2}=a(\Delta t)^{2}$

知識背景：從等差數列問題的角度看，因為位移關於時間的表達式是離散的二次函數，所以它的二階差分結果必為常數。

圖像分析

從 ${\boldsymbol {v_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}{\Delta t}$ 可以看出在勻變速直線運動中，速度與時刻呈一次函數關係。因此，勻變速直線運動的v-t圖像是一條不與x軸平行的直線。

因此，它與坐標軸圍成的圖像是一個梯形，梯形的面積也就是勻變速直線運動的的位移。

${\bar {v}}={\boldsymbol {v_{\frac {t}{2}}}}$ 勻變速直線運動的平均速度等於其中間時刻的速度這一規律，可以與梯形面積等於中位線乘高相類比。

知識背景：如果推廣到更一般的情形，分析任何函數曲線圖中面積和斜率的含義，都可以直接利用量綱分析的方法。

補充習題

• 一個物塊從一個光滑且足夠長的固定斜面頂端O點由靜止釋放後，先後通過斜面上的P、Q、N三點。已知物塊從P點運動到Q點與從Q點運動到N點所用的時間相等，且PQ長度為3m，QN長度為4m。求OP的長度。

解法1：
首先，由初速度為零易知:
$x_{P}={\frac {1}{2}}at_{P}^{2},\ x_{Q}={\frac {1}{2}}at_{Q}^{2},\ x_{N}={\frac {1}{2}}at_{N}^{2}$
其次,對已知的2段距離作比例式可得：
${\begin{aligned}{\frac {4}{3}}&={\frac {x_{N}-x_{Q}}{x_{Q}-x_{P}}}={\frac {{\frac {1}{2}}at_{N}^{2}-{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}}{{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}-{\frac {1}{2}}at_{P}^{2}}}={\frac {t_{N}^{2}-t_{Q}^{2}}{t_{Q}^{2}-t_{P}^{2}}}={\frac {(t_{N}+t_{Q})(t_{N}-t_{Q})}{(t_{Q}+t_{P})(t_{Q}-t_{P})}}\\&={\frac {(t_{N}+t_{Q})\Delta t}{(t_{Q}+t_{P})\Delta t}}={\frac {t_{N}+t_{Q}}{t_{Q}+t_{P}}}={\frac {(t_{Q}+\Delta t)+t_{Q}}{t_{Q}+(t_{Q}-\Delta t)}}={\frac {2t_{Q}+\Delta t}{2t_{Q}-\Delta t}}\\\end{aligned}}$
即有${\frac {4}{3}}={\frac {2t_{Q}+\Delta t}{2t_{Q}-\Delta t}}\Rightarrow t_{Q}=3.5\Delta t$。
最後將要求的x_P比上一段與其有關的距離x_Q可得：
${\frac {x_{P}}{x_{P}+3}}={\frac {x_{P}}{x_{Q}}}={\frac {{\frac {1}{2}}at_{P}^{2}}{{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}}}=({\frac {t_{P}}{t_{Q}}})^{2}=({\frac {t_{Q}-\Delta t}{t_{Q}}})^{2}=({\frac {3.5\Delta t-\Delta t}{3.5\Delta t}})^{2}=({\frac {5}{7}})^{2}$
即有${\frac {x_{P}}{x_{P}+3}}=({\frac {5}{7}})^{2}\Rightarrow x_{P}={\frac {25}{8}}$。

解法2：
根據題意，先列出下列各個式子(其中$\Delta t$為題中所給的2段相同時間間隔之一)：
$\left\{{\begin{array}{lr}v_{Q}-0=at_{Q}&...(1)\\{\bar {v}}_{OQ}\cdot t_{Q}={\frac {v_{Q}-0}{2}}\cdot t_{Q}=x_{Q}&...(2)\\v_{Q}={\frac {3+4}{2\Delta t}}&...(3)\\4-3=a(\Delta t)^{2}&...(4)\\\end{array}}\right.$

求解思路(按順序依次求出或表示出)：$\Delta t\rightarrow a\rightarrow t_{Q}\rightarrow x_{Q}\rightarrow x_{P}$。
首先由(3)式有$\Delta t={\frac {7}{2v_{Q}}}$，其次由(4)式有$a={\frac {1}{(\Delta t)^{2}}}={\frac {1}{({\frac {7}{2v_{Q}}})^{2}}}={\frac {4v_{Q}^{2}}{49}}$，
再其次由(1)式有$t_{Q}={\frac {v_{Q}}{a}}={\frac {v_{Q}}{\frac {4v_{Q}^{2}}{49}}}={\frac {49}{4v_{Q}}}$，
再其次由(2)式有$x_{Q}={\frac {v_{Q}}{2}}\cdot t_{Q}={\frac {v_{Q}}{2}}\cdot ({\frac {49}{4v_{Q}}})={\frac {49}{8}}$，
最後可得所求的答案$x_{P}=x_{Q}-3={\frac {49}{8}}-3={\frac {25}{8}}$。

此外，$v_{Q}^{2}-0^{2}=2ax_{Q}$是由式(1)和式(2)聯合推導而來的，並非獨立規律，所以當已經列出前2個式子時不能再重複列出此式。

答案：${\frac {25}{8}}$。