高中物理/力与运动/匀变速直线运动

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阅读指南[编辑]

希望快速了解或快速回顾高中物理的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。对于更广泛的读者而言,考试中的某些易错点可能包括出题者人为设置的陷阱,其目标只是为了在不同细心程度的学生们之间拉开分数差距,熟悉它们并不全都有助于理解本学科的知识精髓。

基础知识[编辑]

定义[编辑]

定义1:物体在一条直线上运动,且在任意相等的时间间隔内的速度的变化量相等,这种运动称为“匀变速直线运动”(uniform variable rectilinear motion)。

定义2:匀变速直线运动是加速度不变的直线运动。[1]

Crystal Clear action info注意:加速度与初速度方向相同,可称为匀加速直线运动;加速度与初速度方向相反,可称为匀减速直线运动;但若物体运动途中速度改变方向,这两种就都不算了。

4个基本公式[编辑]

先由加速度的定义式 可知。注意到, 其中是匀变速直线运动的初速度,是末速度。由此得到重要公式:

另一方面,根据位移、时间与平均速度的关系可得:

如果将带入上面的式子,还可以得到。(这2个公式是非矢量形式的表达。)

由此,可以看出,只要、这4个物理量中知道了3个,就可以求出t时刻的位移了。

Crystal Project Warehause 4个基本公式列举如下[2][3]

  • 基于加速度a的定义:
  • 平均速度公式:
  • 位移随时间的变化:
  • 初、末速度的平方差:

大部分基础题都是给出其中的3个物理量,然后寻找包含已知量较多的公式,求剩下的1个或2个未知量。有些难题则可能不方便直接一步一步求解,需要联立方程组,或是使用特殊情形下的结论才能得到简便解法。

常用结论与常见模型[编辑]

易错点:求“第几秒内的位移”和“第几秒末的位移”的区别[编辑]

这类问题经常只有1个字的细微区别,但是如果审题时没有足够留意,会导致所求量的含义完全不同。这是考试中利用文字游戏设置陷阱的做法。

易错点:刹车问题与减速后折返问题[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1:汽车在水平面上刹车,其位移与时间的关系是,求它在前3秒内的位移大小。

Crystal Clear action edit 相关例题2:小球以的初速度从中间滑上表面光滑且足够长的斜面,且小球在斜面上运动时的加速度大小为、加速度方向不变。问小球速度大小为时运动了多少时间?

模型:追及问题与相遇问题[编辑]

规律与结论:平均速度与中间时刻瞬时速度的关系[编辑]

考虑匀变速直线运动的平均速度,则有:

这说明匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度。这可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

Crystal Clear action edit 相关例题1: 一物体做匀变速直线运动,依次经过A、B、C三个点。已知AB = BC,且质点在AB段运动的平均速度大小为,在BC段运动的平均速度大小为。求质点在B点的瞬时速度大小。

提示:质点在做匀变速运动,通过AB与BC段的所用时间长度并不相等,所以所求的在B时刻的瞬时速度大小并不等于在AB段的平均速度大小和在BC段的平均速度大小的算术平均数。但可以根据已知条件估算质点通过这两段路所用的时间之比。

解答:
设质点在AB段上运动的时间为,在BC段上运动的时间为,加速度大小为a,在B点处的瞬时速度大小为
根据题意可知两段距离AB和BC相等,利用对两端位移分别列式可得:,即有
又因为质点通过AB段的中间时刻的瞬时速度,通过BC段的中间时刻的瞬时速度
将得到的速度带入可以求出a。再根据可以求出

答案:

Crystal Clear action edit 相关例题2:一物体做匀加速直线运动,通过一段长为L的位移所用的时间为,紧接着又通过一段同样长为L的位移所用的时间为,求物体运动的加速度大小。

规律与结论:平均速度与中间位置瞬时速度的关系[编辑]

设匀变速直线运动的初速度大小为,加速度大小为,末速度大小为,位移大小为,物体经过这段位移的中点时的速度为。则:
对于前半段位移可以得到:
对于后半段位移可以得到:
联立这2个式子可以解得:

如果分析v-t图像的面积特点,还可以得到:不论加速还是减速,在匀变速直线运动中一定有成立。

Crystal Clear action edit 相关例题: 一列从车站开出的火车,在平直轨道上做匀加速直线运动,已知这列火车的长度为,火车头经过某路标时的速度为,或车尾经过此路标时的速度为,求:
(1)火车的加速度大小a;
(2)火车中点经过此路标时的速度v;
(3)整列火车通过此路标所用的时间t。

提示:火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动。此质点在初始时刻的速度为,前进了大小为的位移后,速度变为,所求的v是经过处的速度。

解答:
(1)由匀加速直线运动公式,可得:
(2)对两段位移分别列式:
前一半位移:
后一半位移:
,所以
(3)根据火车在这段时间内的平均速度,可得所用时间为

答案:(1);(2);(3)

规律与结论:逐差相等[编辑]

在匀变速直线运动中,任意两个连续相等的时间间隔内,位移之差是一个常量,即

假设物体依次经过这3个点,且经过相邻2点所用的时间间隔都是,那么有:

从点运动到点的位移为:
从点运动到点的位移为:

因此在时长相同的相邻的2段距离中的位移之差为:

Crystal Clear app 3d 知识背景:从等差数列问题的角度看,因为位移关于时间的表达式是离散的二次函数,所以它的二阶差分结果必为常数。

规律与结论:比例关系[编辑]

图像分析[编辑]

可以看出在匀变速直线运动中,速度与时刻呈一次函数关系。因此,匀变速直线运动的v-t图像是一条不与x轴平行的直线

因此,它与坐标轴围成的图像是一个梯形,梯形的面积也就是匀变速直线运动的的位移。[4]

匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度这一规律,可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

Crystal Clear app kdict 知识背景:如果推广到更一般的情形,分析任何函数曲线图中面积和斜率的含义,都可以直接利用量纲分析的方法。

补充习题[编辑]

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  • 一个物块从一个光滑且足够长的固定斜面顶端O点由静止释放后,先后通过斜面上的P、Q、N三点。已知物块从P点运动到Q点与从Q点运动到N点所用的时间相等,且PQ长度为3m,QN长度为4m。求OP的长度。

解法1:
首先,由初速度为零易知:

其次,对已知的2段距离作比例式可得:

即有
最后将要求的x_P比上一段与其有关的距离x_Q可得:

即有

解法2:
根据题意,先列出下列各个式子(其中为题中所给的2段相同时间间隔之一):

求解思路(按顺序依次求出或表示出):
首先由(3)式有,其次由(4)式有
再其次由(1)式有
再其次由(2)式有
最后可得所求的答案

此外,是由式(1)和式(2)联合推导而来的,并非独立规律,所以当已经列出前2个式子时不能再重复列出此式。

答案:

参考资料[编辑]

  1. 人民教育出版社物理室. 第2章“直线运动”第2.5节“速度改变快慢的描述 加速度”. 物理. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第1册 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 29. ISBN 7-107-16484-8 (中文(中国大陆)‎). 
  2. 马特·巴兰德 (Mat Buckland). 第1章“数学和物理学初探”第1.2节“物理学”第1.2.6小节“加速度”. (编) 王琳. Programming Game AI by Example [游戏人工智能编程案例精粹]. 罗岱 (等人) 1. 中国北京市崇文区夕照寺街14号: 人民邮电出版社. 2008: 22–26. ISBN 978-7-115-17806-0 (中文(中国大陆)‎). 
  3. 人民教育出版社物理室. 第2章“直线运动”第2.6节“匀变速直线运动的规律”和第2.7节“匀变速直线运动规律的应用”. 物理. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第1册 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 30–36. ISBN 7-107-16484-8 (中文(中国大陆)‎). 
  4. 人民教育出版社物理室. 第2章“直线运动”第2.6节“匀变速直线运动的规律”中的“阅读材料”部分. 物理. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第1册 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 32–33. ISBN 7-107-16484-8 (中文(中国大陆)‎).