国中数学/国中数学七年级上册/1-4 指数记法与科学记号

指数记法

绪论

在数学中，我们把一个数字 $n$ ，连乘 $a$ 次时，可以简记为 ${\color {Orange}{n^{a}}}$ ，读做“ $n$ 的 $a$ 次方”。这种运算方式也被称为幂运算。
在这个例子中，我们称 $n$ 为这个指数的“底数”， $a$ 为这个指数的“指数”。

指数记法（0与1）

当一个指数律，其指数为1时，通常会省略不记。例如： ${\color {Orange}{5^{1}}}$ 会记为 ${\color {Orange}{5}}$ 。
当一个指数律，底数为0时，例如 $0^{1}$ 、 $0^{2}$ 、 $0^{3}$ 等， ${\color {Orange}{0^{n}}}$ $(n\neq 0)$ 的值都会是 ${\color {Orange}{0}}$ 。
当一个指数律，底数为1时，例如 $1^{1}$ 、 $1^{2}$ 、 $1^{3}$ 等， ${\color {Orange}{1^{n}}}$ 的值都会是 ${\color {Orange}{1}}$ 。
当一个指数律，指数为0时，例如 $1^{0}$ 、 $2^{0}$ 、 $3^{0}$ 等， ${\color {Orange}{n^{0}}}$ 的值都会是 ${\color {Orange}{1}}$ 。

随堂练习1

$7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7$ 的指数记法为：
$(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)$ 的指数记法为：
$0^{0}$ 的值为：
$1^{1000}$ 的值为：

答案
1. $7^{6}$ 2. $(-3)^{4}$ 3. 无意义 4. $1$

指数的运算

指数的值

承 随堂练习1 ，我们知道如何简记冗长的乘法表达式，接着要来运算它。
$(-3)^{4}$ 的值即为 $(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)$ ，也就是 $81$ 。
$-3^{4}$ 的值即为 $3\times 3\times 3\times 3$ ，也就是 $-81$ ，请务必记得观察负号的位置。

含指数的四则运算

在四则运算时，我们将指数视为一个括号“ $()$ ”，应该先算。
例如， $500$ ÷ $(-5)^{2}$ 应该先算 $(-5)^{2}$ ，再将 $500$ ÷ $25$ ，其值为 $20$ 。
切记，指数运算完毕后再遵循“先乘除后加减”的规定。

比较指数的大小

如果 $a$ 是正数且 $a>1$ ， $n$ 越大， $a^{n}$ 值会越大；
如果 $b$ 是正数且 $b<1$ ， $n$ 越大， $b^{n}$ 值会越小。

趣味应用

一张纸折叠32次后，可以到达月球。
假设你原来的能力为1，每天进步百分之一，一平年之后你的能力会是37.8。( $(1.01)^{365}\approx 37.8$ )
假设你原来的能力为1，每天退步百分之一，一平年之后你的能力会剩下0.03。( $(0.99)^{365}\approx 0.03$ )

随堂练习2

$(-2)^{4}$ 的值为：
$-2^{3}$ 的值为：
$64$ ÷ $(-2)^{2}$ 的值为：
令 $a=(1.5)^{100}$ ， $a=(1.5)^{101}$ ， $a=(1.5)^{102}$ ，试比较 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小。
令 $d=(0.5)^{100}$ ， $e=(0.5)^{101}$ ， $f=(0.5)^{102}$ ，试比较 $d$ 、 $e$ 、 $f$ 的大小。

答案
1. $16$ 2. $-8$ 3. $16$ 4. $a<b<c$ 5. $d>e>f$

科学记号

绪论

当我们在表示一个极大的数或极小的数时，我们通常会使用科学记号来表示它。像 $22,000,000$ 或是 $0.0000035$ 这种数就非常适合用科学记号来表示。

10的次方及其位值

在科学记号中，我们会使用到10的次方来表示。我们知道 $10^{1}$ 就是 $10$ 、 $10^{2}$ 就是 $100$ 、 $10^{3}$ 就是 $1000$ ……
那么小数应该如何表示呢？

10的次方及其位值表
位名	千位	百位	十位	个位	十分位	百分位	千分位
位值	$1000$	$100$	$10$	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
10的次方	$10^{3}$	$10^{2}$	$10^{1}$	$10^{0}$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$

透过观察上面的表格。其实不难发现，每当位值变为 $10$ 倍时， $10$ 的次方会增加 $1$ ；每当位值变为 ${\frac {1}{10}}$ 倍时， $10$ 的次方会减少 $1$ 。因为 $1$ 是 $10$ 的 $0.1$ 倍，我们规定 $1=10^{0}$ 。同理也可以应用在 $0.1=10^{-1}$ 、 $0.01=10^{-2}$ ，以此类推。
事实上，如果 ${\color {Orange}{m}}$ 是正整数，则 ${\color {Orange}{(0.1)^{m}=10^{-m}}}$ 。
补充：科学上也常常使用底数为 $10$ 的指数记法来表示长度单位。例：一纳米= $10^{-9}m$ 。

表示方式

以 $a\times 10^{m}$ 来表示，其中 $1\leq a<10$ 。
诀窍：例如 $1000000$ ， $1$ 后面有 $6$ 个零，那么此数必是 $10$ 的 $6$ 次方。
例如 $0.000001$ ， $1$ 在小数点第 $6$ 位，那么此数必是 $10$ 的 $-6$ 次方。

[范例一] $140000$ 以科学记号表示：
$=1.4\times 100000$
$=1.4\times 10^{5}$

[范例二] $0.00000037$ 以科学记号表示：
$=3.7\times 0.0000001$
$=3.7\times (0.1)^{7}$
$=3.7\times 10^{-7}$

随堂练习3

1. 判断下列何者是正确的科学记号：(复选题)
　　(A) $16.25\times 10^{7}$
　　(B) $4.25\times 10^{-1}$
　　(C) $7.6\times 8^{-5}$
　　(D) $8.5\times 10^{3}$
　　(E) $24.25\times (-5)^{7}$
　　(F) $5.84\times 10^{-8}$

2. 请将数字转换为正确的科学记号：
　　(1) $48000$
　　(2) $1890000$
　　(3) $0.000007$