国中数学/国中数学七年级上册/1-4 指数记法与科学记号

指数记法

绪论

• 在数学中，我们把一个数字$n$，连乘$a$次时，可以简记为 $n^a$，读做“$n$的$a$次方”。这种运算方式也被称为幂运算。
  
• 在这个例子中，我们称$n$为这个指数的“底数”，$a$为这个指数的“指数”。
  

指数记法（0与1）

• 当一个指数律，其指数为1时，通常会省略不记。例如：$5^1$会记为$5$。
  
• 当一个指数律，底数为0时，例如$0^1$、$0^2$、$0^3$等，$0^n$$(n\ne 0)$的值都会是$0$。
  
• 当一个指数律，底数为1时，例如$1^1$、$1^2$、$1^3$等，$1^n$的值都会是$1$。
  
• 当一个指数律，指数为0时，例如$1^0$、$2^0$、$3^0$等，$n^0$的值都会是$1$。
  

随堂练习1

1. $7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7$的指数记法为：
2. $(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)$的指数记法为：
3. $0^0$的值为：
4. $1^{1000}$的值为：

答案

1. $7^6$ 2. $(-3{)}^4$ 3. 无意义 4. $1$

指数的运算

指数的值

• 承 随堂练习1 ，我们知道如何简记冗长的乘法表达式，接著要来运算它。
  
• $(-3{)}^4$的值即为$(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)$，也就是$81$。
  
• $-3^4$的值即为$3\times 3\times 3\times 3$，也就是$-81$，请务必记得观察负号的位置。
  

含指数的四则运算

• 在四则运算时，我们将指数视为一个括号“$()$”，应该先算。
  
• 例如，$500$÷$(-5{)}^2$应该先算$(-5{)}^2$，再将$500$÷$25$，其值为$20$。
  
• 切记，指数运算完毕后再遵循“先乘除后加减”的规定。
  

比较指数的大小

• 如果$a$是正数且$a>1$，$n$越大，$a^n$值会越大；
• 如果$b$是正数且$b<1$，$n$越大，$b^n$值会越小。

趣味应用

• 一张纸折叠32次后，可以到达月球。
• 假设你原来的能力为1，每天进步百分之一，一平年之后你的能力会是37.8。($(1.01{)}^{365}\approx 37.8$)
• 假设你原来的能力为1，每天退步百分之一，一平年之后你的能力会剩下0.03。($(0.99{)}^{365}\approx 0.03$)

随堂练习2

1. $(-2{)}^4$的值为：
2. $-2^3$的值为：
3. $64$÷$(-2{)}^2$的值为：
4. 令$a=(1.5{)}^{100}$，$a=(1.5{)}^{101}$，$a=(1.5{)}^{102}$，试比较$a$、$b$、$c$的大小。
5. 令$d=(0.5{)}^{100}$，$e=(0.5{)}^{101}$，$f=(0.5{)}^{102}$，试比较$d$、$e$、$f$的大小。

答案

1. $16$ 2. $-8$ 3. $16$ 4. $a<b<c$ 5. $d>e>f$

科学记号

绪论

• 当我们在表示一个极大的数或极小的数时，我们通常会使用科学记号来表示它。像$22,000,000$或是$0.0000035$这种数就非常适合用科学记号来表示。

10的次方及其位值

• 在科学记号中，我们会使用到10的次方来表示。我们知道$10^1$就是$10$、$10^2$就是$100$、$10^3$就是$1000$……
• 那么小数应该如何表示呢？

10的次方及其位值表

位名	千位	百位	十位	个位	十分位	百分位	千分位
位值	$1000$	$100$	$10$	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
10的次方	$10^3$	$10^2$	$10^1$	$10^0$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$

• 透过观察上面的表格。其实不难发现，每当位值变为$10$倍时，$10$的次方会增加$1$；每当位值变为$\frac{1}{10}$倍时，$10$的次方会减少$1$。因为$1$是$10$的$0.1$倍，我们规定$1=10^0$。同理也可以应用在$0.1=10^{-1}$、$0.01=10^{-2}$，以此类推。
• 事实上，如果$m$是正整数，则$(0.1{)}^m=10^{-m}$。
• 补充：科学上也常常使用底数为$10$的指数记法来表示长度单位。例：一奈米=$10^{-9}m$。

表示方式

• 以$a\times 10^m$来表示，其中$1\le a<10$。
  
• 诀窍：例如$1000000$，$1$后面有$6$个零，那么此数必是$10$的$6$次方。
  例如$0.000001$，$1$在小数点第$6$位，那么此数必是$10$的$-6$次方。

[范例一] $140000$以科学记号表示：
$=1.4\times 100000$
$=1.4\times 10^5$

[范例二] $0.00000037$以科学记号表示：
$=3.7\times 0.0000001$
$=3.7\times (0.1{)}^7$
$=3.7\times 10^{-7}$

随堂练习3

1. 判断下列何者是正确的科学记号：(复选题)
　　(A) $16.25\times 10^7$
　　(B) $4.25\times 10^{-1}$
　　(C) $7.6\times 8^{-5}$
　　(D) $8.5\times 10^3$
　　(E) $24.25\times (-5{)}^7$
　　(F) $5.84\times 10^{-8}$

2. 请将数字转换为正确的科学记号：
　　(1) $48000$
　　(2) $1890000$
　　(3) $0.000007$

答案

1. $BDF$ 2. $(1)4.8\times 10^4$ 2. $(2)1.89\times 10^6$ 2. $(3)7\times 10^{-6}$