國中數學/國中數學七年級上冊/1-4 指數記法與科學記號

指數記法

緒論

在數學中，我們把一個數字 $n$ ，連乘 $a$ 次時，可以簡記為 ${\color {Orange}{n^{a}}}$ ，讀做「 $n$ 的 $a$ 次方」。這種運算方式也被稱為冪運算。
在這個例子中，我們稱 $n$ 為這個指數的「底數」， $a$ 為這個指數的「指數」。

指數記法（0與1）

當一個指數律，其指數為1時，通常會省略不記。例如： ${\color {Orange}{5^{1}}}$ 會記為 ${\color {Orange}{5}}$ 。
當一個指數律，底數為0時，例如 $0^{1}$ 、 $0^{2}$ 、 $0^{3}$ 等， ${\color {Orange}{0^{n}}}$ $(n\neq 0)$ 的值都會是 ${\color {Orange}{0}}$ 。
當一個指數律，底數為1時，例如 $1^{1}$ 、 $1^{2}$ 、 $1^{3}$ 等， ${\color {Orange}{1^{n}}}$ 的值都會是 ${\color {Orange}{1}}$ 。
當一個指數律，指數為0時，例如 $1^{0}$ 、 $2^{0}$ 、 $3^{0}$ 等， ${\color {Orange}{n^{0}}}$ 的值都會是 ${\color {Orange}{1}}$ 。

隨堂練習1

$7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7$ 的指數記法為：
$(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)$ 的指數記法為：
$0^{0}$ 的值為：
$1^{1000}$ 的值為：

答案
1. $7^{6}$ 2. $(-3)^{4}$ 3. 無意義 4. $1$

指數的運算

指數的值

承 隨堂練習1 ，我們知道如何簡記冗長的乘法表達式，接着要來運算它。
$(-3)^{4}$ 的值即為 $(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)$ ，也就是 $81$ 。
$-3^{4}$ 的值即為 $3\times 3\times 3\times 3$ ，也就是 $-81$ ，請務必記得觀察負號的位置。

含指數的四則運算

在四則運算時，我們將指數視為一個括號「 $()$ 」，應該先算。
例如， $500$ ÷ $(-5)^{2}$ 應該先算 $(-5)^{2}$ ，再將 $500$ ÷ $25$ ，其值為 $20$ 。
切記，指數運算完畢後再遵循「先乘除後加減」的規定。

比較指數的大小

如果 $a$ 是正數且 $a>1$ ， $n$ 越大， $a^{n}$ 值會越大；
如果 $b$ 是正數且 $b<1$ ， $n$ 越大， $b^{n}$ 值會越小。

趣味應用

一張紙摺疊32次後，可以到達月球。
假設你原來的能力為1，每天進步百分之一，一平年之後你的能力會是37.8。( $(1.01)^{365}\approx 37.8$ )
假設你原來的能力為1，每天退步百分之一，一平年之後你的能力會剩下0.03。( $(0.99)^{365}\approx 0.03$ )

隨堂練習2

$(-2)^{4}$ 的值為：
$-2^{3}$ 的值為：
$64$ ÷ $(-2)^{2}$ 的值為：
令 $a=(1.5)^{100}$ ， $a=(1.5)^{101}$ ， $a=(1.5)^{102}$ ，試比較 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小。
令 $d=(0.5)^{100}$ ， $e=(0.5)^{101}$ ， $f=(0.5)^{102}$ ，試比較 $d$ 、 $e$ 、 $f$ 的大小。

答案
1. $16$ 2. $-8$ 3. $16$ 4. $a<b<c$ 5. $d>e>f$

科學記號

緒論

當我們在表示一個極大的數或極小的數時，我們通常會使用科學記號來表示它。像 $22,000,000$ 或是 $0.0000035$ 這種數就非常適合用科學記號來表示。

10的次方及其位值

在科學記號中，我們會使用到10的次方來表示。我們知道 $10^{1}$ 就是 $10$ 、 $10^{2}$ 就是 $100$ 、 $10^{3}$ 就是 $1000$ ……
那麼小數應該如何表示呢？

10的次方及其位值表
位名	千位	百位	十位	個位	十分位	百分位	千分位
位值	$1000$	$100$	$10$	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
10的次方	$10^{3}$	$10^{2}$	$10^{1}$	$10^{0}$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$

透過觀察上面的表格。其實不難發現，每當位值變為 $10$ 倍時， $10$ 的次方會增加 $1$ ；每當位值變為 ${\frac {1}{10}}$ 倍時， $10$ 的次方會減少 $1$ 。因為 $1$ 是 $10$ 的 $0.1$ 倍，我們規定 $1=10^{0}$ 。同理也可以應用在 $0.1=10^{-1}$ 、 $0.01=10^{-2}$ ，以此類推。
事實上，如果 ${\color {Orange}{m}}$ 是正整數，則 ${\color {Orange}{(0.1)^{m}=10^{-m}}}$ 。
補充：科學上也常常使用底數為 $10$ 的指數記法來表示長度單位。例：一納米= $10^{-9}m$ 。

表示方式

以 $a\times 10^{m}$ 來表示，其中 $1\leq a<10$ 。
訣竅：例如 $1000000$ ， $1$ 後面有 $6$ 個零，那麼此數必是 $10$ 的 $6$ 次方。
例如 $0.000001$ ， $1$ 在小數點第 $6$ 位，那麼此數必是 $10$ 的 $-6$ 次方。

[範例一] $140000$ 以科學記號表示：
$=1.4\times 100000$
$=1.4\times 10^{5}$

[範例二] $0.00000037$ 以科學記號表示：
$=3.7\times 0.0000001$
$=3.7\times (0.1)^{7}$
$=3.7\times 10^{-7}$

隨堂練習3

1. 判斷下列何者是正確的科學記號：(複選題)
　　(A) $16.25\times 10^{7}$
　　(B) $4.25\times 10^{-1}$
　　(C) $7.6\times 8^{-5}$
　　(D) $8.5\times 10^{3}$
　　(E) $24.25\times (-5)^{7}$
　　(F) $5.84\times 10^{-8}$

2. 請將數字轉換為正確的科學記號：
　　(1) $48000$
　　(2) $1890000$
　　(3) $0.000007$