国中数学/国中数学七年级/3-2 解一元一次方程式

◄

国中数学七年级
3-2 解一元一次方程式

►

在上个单元我们学到的式子的化简，当时有提过式子的值：

已知 $x=10$ ，则式子 $2x+7=2\times 10+7=20+7=27$

现在我们想要反过来问：在 $x$ 是多少的情况下，式子 $2x+7$ 的值刚好是 $27$ 呢？这个问题很简单，我们刚刚代入的 $x=10$ 就是其中一个答案，但是我们想问的是：还有没有其他答案？
如果没有测试过，我们想知道在 $x$ 是多少的情况下，式子 $2x+7$ 的值刚好是 $10$ ？
本单元将解决这样类型的问题。

一元一次方程式

以前我们有使用（）或是□代表未知数的值，如：

雨婷原本有一些糖果，她吃掉了 $15$ $15$ 颗，还剩下 $13$ $13$ 颗。雨婷原本有几颗糖果？
- 设雨婷有（）颗糖果，根据题意可以列出式子（） $-15=13$ ，可以知道（） $=13+15=28$ ，所以雨婷原本有 $28$ 颗糖果。
雨婷有 $28$ $28$ 颗糖果，刚好是若帆拥有糖果数量的 $4$ $4$ 倍。若帆有几颗糖果？
- 设若帆有（）颗糖果，根据题意可以列出式子（） $\times 4=28$ ，可以知道（） $=28\div 4=7$ ，所以若帆有 $7$ 颗糖果。

在前一个单元我们有提到，于国中阶段以后，我们习惯用小写英文字母 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 等字母代替未知数，所以上面的列式就会变为

雨婷原本有一些糖果，她吃掉了 $15$ $15$ 颗，还剩下 $13$ $13$ 颗。雨婷原本有几颗糖果？
- 设雨婷有 $x$ 颗糖果，根据题意可以列出式子 $x-15=13$ ，可以知道 $x=13+15=28$ ，所以雨婷原本有 $28$ 颗糖果。
雨婷有 $28$ $28$ 颗糖果，刚好是若帆拥有糖果数量的 $4$ $4$ 倍。若帆有几颗糖果？
- 设若帆有 $y$ 颗糖果，根据题意可以列出式子 $y\times 4=28$ ，可以知道 $y=28\div 4=7$ ，所以若帆有 $7$ 颗糖果。

在上面两个例子出现的 $x-15=13$ 与 $y\times 4=28$ 这种未知数只有一个，而且未知数最高次方为一次，最后面还有出现等号的算式，我们称作一元一次方程式。我们在之后说明如何判别一个式子是不是一元一次方程式。

一元一次方程式的解

如果 $x=a$ 可以让一元一次方程式成立，那我们称 $x=a$ 是一元一次方程式的一个解。

例题

1

检查

x=3

、

x={\frac {3}{2}}

、

x={\frac {5}{2}}

三个数中，哪一个是方程式

2x+7=10

的解？

解

**小提醒**
如果文字符号直接出现在数字的后面，这代表省略了乘号( $\times$ )唷！

将 $x=3$ 、 $x={\frac {3}{2}}$ 、 $x={\frac {5}{2}}$ 分别代入 $2x+7$ ，看看哪个等于 $10$ 。

$(1)x=3$ 时： $2x+7=2\times 3+7=6+7=13$ ，并不等于 $10$ ，所以 $x=3$ 不是 $2x+7=10$ 的解。
$(2)x={\frac {3}{2}}$ 时： $2x+7=2\times {\frac {3}{2}}+7=3+7=10$ ，刚好等于 $10$ ，所以 $x={\frac {3}{2}}$ 是 $2x+7=10$ 的解。
$(3)x={\frac {5}{2}}$ 时： $2x+7=2\times {\frac {5}{2}}+7=5+7=12$ ，并不等于 $10$ ，所以 $x={\frac {5}{2}}$ 不是 $2x+7=10$ 的解。

故 $x={\frac {3}{2}}$ 是 $2x+7=10$ 的解。

小测

解方程式的方法：等量公理^{[注 1]}

等量加法公理

如下图，在天平左端放置一颗圆球，右端放置200公克的砝码，两端刚好平衡。

如果圆球的重量是 $x$ 公克，那么上图的平衡状态我们可以写作 $x=200$ 。

如果左右两端各加上一个100公克的砝码，那么平衡也不会改变。

此时，上图的平衡状态我们可以写作 $x+100=200+100$ 。
事实上，只要一开始平衡，左右两端加上相同重量的物品，也不会改变平衡的状态，此即：

 若 $a=b$ 且 $c$ 是任意一個數，則 $a+c=b+c$ 。

等量减法公理

与刚刚反过来，如下图，在天平左端放置1颗圆球与1个100公克的砝码，右端放置200公克与100公克的砝码各1个，两端刚好平衡。

如果左侧的重量总共是 $y$ 公克，我们可以记作 $y=300$

如果左右两端各自拿走那1个100公克的砝码，那么平衡也不会改变。

此时，上图的平衡状态我们可以写作 $y-100=200-100$ 。
事实上，只要一开始平衡，左右两端拿走相同重量，也不会改变平衡的状态，此即：

 若 $a=b$ 且 $c$ 是任意一個數，則 $a-c=b-c$ 。

等量乘法公理

如下图，在天平左端放置一颗圆球，右端放置200公克的砝码，两端刚好平衡。

如果圆球的重量是 $x$ 公克，那么上图的平衡状态我们可以写作 $x=200$ 。

如果左右两端变成原本数量的3倍，那么平衡也不会改变。

此时，上图的平衡状态我们可以写作 $x\times 3=200\times 3$ 。
事实上，只要一开始平衡，左右两端各自变成原来相同的某个倍数也不会改变平衡的状态，此即：

 若 $a=b$ 且 $c$ 是任意一個數，則 $a\times c=b\times c$ 。

等量除法公理

与刚刚反过来，如下图，在天平左端放置3颗圆球，右端放置3个200公克的砝码，两端刚好平衡。

如果左端总重量是 $z$ 公克，那么上图的平衡状态我们可以写作 $z=600$ 。

如果左右两端变成原本数量的 ${\frac {1}{3}}$ 倍(也就是除以3)，那么平衡也不会改变。

此时，上图的平衡状态我们可以写作 $z\div 3=600\div 3$ 。
事实上，只要一开始平衡，左右两端各自除以相同的某数也不会改变平衡的状态，但是不能除以 $0$ ，此即：

 若 $a=b$ 且 $c$ 是不為 $0$ 的任意一個數，則 $a\div c=b\div c$ 。

运用等量公理解方程式

目标是让未知数 $(x)$ 只出现在等式的左边。

$Q1.$ 解方程式 $x-105=124$ 。

解： $x-105=124$ 
 $\Rightarrow x-105+105=124+105$ (等量加法公理)
 $\Rightarrow x=124+105$ (化簡左邊式子)
 $\Rightarrow x=229$

$Q2.$ 解方程式 $x+33=97$ 。

解： $x+33=97$ 
 $\Rightarrow x+33-33=97-33$ (等量減法公理)
 $\Rightarrow x=97-33$ (化簡左邊式子)
 $\Rightarrow x=64$

$Q3.$ 解方程式 $x\div 12=15$ 。

解： $x\div 12=15$ 
 $\Rightarrow x\div 12\times 12=15\times 12$ (等量乘法公理)
 $\Rightarrow x=15\times 12$ (化簡左邊式子)
 $\Rightarrow x=180$

$Q4.$ 解方程式 $x\times 47=1880$ 。

解： $x\times 47=1880$ 
 $\Rightarrow x\times 47\div 47=1880\div 47$ (等量除法公理)
 $\Rightarrow x=1880\div 47$ (化簡左邊式子)
 $\Rightarrow x=40$

解方程式的方法：移项法则

注意上面 $Q1$ 到 $Q4$ ，如果移除等量公理那一步：

 $x{\color {red}-}105=124$ 
 $\Rightarrow x=124{\color {red}+}105$ 
 $\Rightarrow x=229$

 $x{\color {red}+}33=97$ 
 $\Rightarrow x=97{\color {red}-}33$ 
 $\Rightarrow x=64$

 $x{\color {red}\div }12=15$ 
 $\Rightarrow x=15{\color {red}\times }12$ 
 $\Rightarrow x=180$

 $x{\color {red}\times }47=1880$ 
 $\Rightarrow x=1880{\color {red}\div }47$ 
 $\Rightarrow x=40$

有注意到吗？

設 $a$ 、 $b$ 為兩個數，則
 $1.x+a=b\Rightarrow x=b-a$ 
 $2.x-a=b\Rightarrow x=b+a$ 
 $3.x\times a=b\Rightarrow x=b\div a(a\neq 0)$ 
 $4.x\div a=b\Rightarrow x=b\times a(a\neq 0)$

以上四式称为移项法则。

请注意：无论是等量公理或是移项法则，就算 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是未知数或是代数式也是可以的。但未知数或代数式必须确定该式不等于 $0$ 才能够进行除法运算。

一元一次方程式的判别

为了严格分辨方程式，所以我们必须严格定义一元一次方程式的形式，如下：

一元一次方程式: 式子经由化简之后形如 $ax=b$ 的形式，其中 $a\neq 0$ 。

有些方程式看起来很像一元一次方程式，但是我们不能确定，这时我们可以利用移项法则，确定是否能够整理成 $ax=b$ 且 $a\neq 0$ 的形式。

举些例子：

${\frac {x}{7}}=5$ 是一元一次方程式，因为 ${\frac {x}{7}}=5$ 可以改写成 ${\frac {1}{7}}x=5$ ，符合 $ax=b$ 且 $a\neq 0$ 的形式。
$6x+2=3(2x+7)$ 不是一元一次方程式，因为 $6x+2=3(2x+7)\Rightarrow 6x{\color {blue}+2}={\color {red}6x}+21\Rightarrow 6x{\color {red}-6x}=21{\color {blue}-2}\Rightarrow 0x=19$ ，不符合 $a\neq 0$ 。

接下来要解的式子都是一元一次方程式。

解一元一次方程式

在解方程式的时候，我们的目标就是让等式一边只剩下单一未知数。无论是使用等量公理或是移项法则，一般来说我们都会将将常数项(没有未知数的项)挪到等号右边，有未知数移到等号左边，最后形成 $ax=b$ 的算式， $x={\frac {b}{a}}$ 。其实这也就解答了一开始所提的问题：，一元一次方程式 $2x+7=27$ 的解只有一个可能，也就是 $x=10$ 。

题型1：等号单边有未知数

例题

2

解方程式

4x-7=13

。

解

移项法则	等量公理
$4x{\color {red}-7}=13$ $\Rightarrow 4x=13{\color {red}+7}$ (移项法则：将 ${\color {red}-7}$ 从等号左边移到右边，要变成 ${\color {red}+7}$ ) $\Rightarrow {\color {blue}4}x=20$ (化简等号右边) $\Rightarrow x=20{\color {blue}\div 4}$ (移项法则：将 ${\color {blue}\times 4}$ 从等号左边移到右边，要变成 ${\color {blue}\div 4}$ ) $\Rightarrow x=5$	$4x-7=13$ $\Rightarrow 4x-7{\color {red}+7}=13{\color {red}+7}$ (等量公理：两边同时 ${\color {red}+7}$ ) $\Rightarrow 4x=20$ (整理左右两式) $\Rightarrow 4x{\color {blue}\div 4}=20{\color {blue}\div 4}$ (等量公理：两边同时 ${\color {blue}\div 4}$ ) $\Rightarrow x=5$

要确定自己有没有算错，可以将 $x$ 带回去原式检验看看，这个动作我们称为“验算”。我们建议初学者在解完方程式的时候都必须做验算的动作。

 驗算：等號左邊＝ $4\times 5-7=20-7=13$ ，等於等號右邊。

习题
解下列一元一次方程式：
$(1)3x+5=23$ ^{[解 1]}
$(2)6-7y=20$ ^{[解 2]}

题型2：等号两边都有未知数

例题

3

解方程式

7x-5=6x+10

。

解

移项法则	等量公理
$7x{\color {red}-5}=6x+10$ $\Rightarrow 7x={\color {blue}6x}+10{\color {red}+5}$ $\Rightarrow 7x{\color {blue}-6x}=10+5$ $\Rightarrow x=15$	$7x-5=6x+10$ $\Rightarrow 7x-5{\color {red}+5}=6x+10{\color {red}+5}$ $\Rightarrow 7x{\color {blue}-6x}=6x+15{\color {blue}-6x}$ $\Rightarrow 7x-6x=15$ $\Rightarrow x=15$

 驗算：等號左邊 $=7\times 15-5=105-5=100$ ，等號右邊 $=6\times 15+10=90+10=100$ ，兩邊相同。

接下来的例题，我们都采用“移项法则”的方式，其实这是基于“等量公理”的原则，两者作法大同小异。

例题

4

解方程式

7x-4=5x+6

。

解

$7x{\color {red}-4}=5x+6$
$\Rightarrow 7x={\color {blue}5x}+6{\color {red}+4}$
$\Rightarrow 7x{\color {blue}-5x}=6+4$
$\Rightarrow {\color {green}2}x=10$
$\Rightarrow x=10{\color {green}\div 2}$
$\Rightarrow x=5$

如果你很熟练或是习惯的时候，例题 $4$ 你可以这么做：
$7x-4=5x+6$
$\Rightarrow 7x-5x=6+4$
$\Rightarrow 2x=10$
$\Rightarrow x=5$

 驗算：等號左邊 $=7\times 5-4=35-4=31$ ，等號右邊 $=5\times 5+6=25+6=31$ ，兩邊相同。

例题

5

解方程式

7x=5x

。

这个题目如果你同除以一个 $x$ 就会得到 $7=5$ ，所以原题目无解？！
那你就错了，因为你不能同时除以 $x$ 这个你完全无法确定它是不是 $0$ 的式子！而其实这题的解真的就是 $x=0$ …

解

$7x={\color {red}5x}$
$\Rightarrow 7x{\color {red}-5x}=0$ (等号一端没东西，记得要补 $0$ ！)
$\Rightarrow 2x=0$
$\Rightarrow x=0$

 驗算：等號左邊 $=7\times 0=0$ ，等號右邊 $=5\times 0=0$ ，兩邊相同。

习题
解下列一元一次方程式：
$(1)2x+5=7+3x$ ^{[解 3]}
$(2)10-4y=15+y$ ^{[解 4]}
$(3)6z-7=3z-7$ ^{[解 5]}

题型3：解含括号的一元一次方程式

例题

6

解方程式

3(x-4)=15

。

解

${\color {red}3}(x-4)=15$
$\Rightarrow x-4=15{\color {red}\div 3}$ (移项法则)
$\Rightarrow x{\color {blue}-4}=5$ (整理等号右边)
$\Rightarrow x=5{\color {blue}+4}$ (移项法则)
$\Rightarrow x=9$ (整理等号右边)

例题 $6$ 你也可以先去括号再做：
$3(x-4)=15$
$\Rightarrow 3x{\color {red}-12}=15$ (去括号)
$\Rightarrow 3x=15{\color {red}+12}$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {blue}3}x=27$ (整理等号右边)
$\Rightarrow x=27{\color {blue}\div 3}$ (移项法则)
$\Rightarrow x=9$ (整理等号右边)

 驗算：等號左邊 $=3\times (9-4)=3\times 5=15$ ，等於等號右邊。

习题
解一元一次方程式 $-98(x+109)=-98$ 。^{[解 6]}

例题

7

解方程式

2(2x+9)=14

。

解

${\color {red}2}(2x+9)=14$
$\Rightarrow 2x+9=14{\color {red}\div 2}$ (移项法则)
$\Rightarrow 2x{\color {blue}+9}=7$ (整理等号右边)
$\Rightarrow 2x=7{\color {blue}-9}$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {green}2}x=-2$ (整理等号右边)
$\Rightarrow x=-2{\color {green}\div 2}$ (移项法则)
$\Rightarrow x=-1$ (整理等号右边)

当然，例题 $7$ 你也可以先去括号再做：
$2(2x+9)=14$
$\Rightarrow 4x{\color {red}+18}=14$ (去括号)
$\Rightarrow 4x=14{\color {red}-18}$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {blue}4}x=-4$ (整理等号右边)
$\Rightarrow x=-4{\color {blue}\div 4}$ (移项法则)
$\Rightarrow x=-1$ (整理等号右边)
而在这题似乎这样的方法更加简便。其实在解方程式的时候，适当的选择比较好解的方式也是相当重要的。

 驗算：等號左邊 $=2\times [2\times (-1)+9]=2\times [(-2)+9]=2\times 7=14$ ，等於等號右邊。

习题
解一元一次方程式 $3(4x-1)=45$ 。^{[解 7]}

例题

8

解方程式

(x+7)-(4x-2)=15

。

解

$(x+7)-(4x-2)=15$
$\Rightarrow x+7{\color {red}-}4x{\color {red}+}2=15$ (去括号)
$\Rightarrow -3x{\color {red}+9}=15$ (合并同类项)
$\Rightarrow -3x=15{\color {red}-9}$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {blue}-3}x=6$ (整理等号右边)
$\Rightarrow x=6{\color {blue}\div (-3)}$ (移项法则)
$\Rightarrow x=-2$ (整理等号右边)

 驗算：等號左邊 $=(-2+7)-[4\times (-2)-2]=5-(-10)=15$ ，等於等號右邊。

习题
解一元一次方程式 $(4x-5)+(2x+7)=38$ 。^{[解 8]}

例题

9

解方程式

3(2x+7)-4(3x-2)=7

。

解

$3(2x+7)-4(3x-2)=7$
$\Rightarrow 6x+21-12x+8=7$ (去括号)
$\Rightarrow -6x{\color {red}+29}=7$ (合并同类项)
$\Rightarrow -6x=7{\color {red}-29}$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {blue}-6}x=-22$ (整理等号右边)
$\Rightarrow x=-22{\color {blue}\div (-6)}$ (移项法则)
$\Rightarrow x={\frac {11}{3}}$ (整理等号右边)

 驗算：等號左邊 $=3\times (2\times {\frac {11}{3}}+7)-4\times (3\times {\frac {11}{3}}-2)=3\times ({\frac {22}{3}}+7)-4\times (11-2)=3\times ({\frac {22}{3}}+{\frac {21}{3}})-4\times 9=3\times {\frac {43}{3}}-36=43-36=7$ ，等於等號右邊。

习题
解一元一次方程式 $2(3x-1)-3(x+5)=19$ 。^{[解 9]}

解多重括号的方程式

解多重括号的方程式可以先去小括号，也可以先去中括号或是大括号。以下是几个例题：

例题

10

解方程式

3x-[(2x+3)-3(5x+2)]=99

。

解

$3x-[(2x+3)-3(5x+2)]=99$
$\Rightarrow 3x-[2x+3-15x-6]=99$ (去小括号)
$\Rightarrow 3x-[-13x-3]=99$ (化简中括号内的项)
$\Rightarrow 3x+13x{\color {red}+3}=99$ (去中括号)
$\Rightarrow 3x+13x=99{\color {red}-3}=$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {blue}16}x=96$ (整理左右二式)
$\Rightarrow x=96{\color {blue}\div 16}$ (移项法则)
$\Rightarrow x=6$ (整理等号右边)

 驗算：等號左邊 $=3\times 6-[(2\times 6+3)-3\times (5\times 6+2)]=18-[(12+3)-3\times (30+2)]=18-[15-3\times 32]=18-[15-96]=18-(-81)=18+81=99$ ，等於等號右邊。

习题
解一元一次方程式 $2[3x-2(5x+4)]-5=-21x$ 。^{[解 10]}

例题

11

解方程式

3\{2[4(x-1)+3]-2\}+1=109

。

解

$3\{2[4(x-1)+3]-2\}{\color {red}+1}=109$
$\Rightarrow 3\{2[4(x-1)+3]-2\}=109{\color {red}-1}$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {blue}3}\{2[4(x-1)+3]-2\}=108$ (计算右式)
$\Rightarrow 2[4(x-1)+3]-2=108{\color {blue}\div 3}$ (移项法则)
$\Rightarrow 2[4(x-1)+3]{\color {red}-2}=36$ (计算右式)
$\Rightarrow 2[4(x-1)+3]=36{\color {red}+2}$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {blue}2}[4(x-1)+3]=38$ (计算右式)
$\Rightarrow 4(x-1)+3=38{\color {blue}\div 2}$ (移项法则)
$\Rightarrow 4(x-1){\color {red}+3}=19$ (计算右式)
$\Rightarrow 4(x-1)=19{\color {red}-3}$ (移项法则)
$\Rightarrow {\color {blue}4}(x-1)=16$ (计算右式)
$\Rightarrow x-1=16{\color {blue}\div 4}$ (移项法则)
$\Rightarrow x{\color {red}-1}=4$ (计算右式)
$\Rightarrow x=4{\color {red}+1}$ (移项法则)
$\Rightarrow x=5$ (计算右式)

 驗算：等號左邊 $=3\times \{2\times [4\times (5-1)+3]-2\}+1=3\times \{2\times [4\times 4+3]-2\}+1=3\times \{2\times [16+3]-2\}+1=3\times \{2\times 19-2\}+1=3\times \{38-2\}+1=3\times 36+1=108+1=109$ ，等於等號右邊。

习题
解一元一次方程式 $5\{4[3(2x-1)-2]-3\}-4=1$ 。^{[解 11]}

类型4：分数型与小数型

解分数型的方程式可以先将方程式同乘以一个整数，让方程式变成全整数的形式再解会比较方便。

例题

12

解方程式

{\frac {1}{3}}(x+3)={\frac {1}{2}}(2x-{\frac {3}{2}})

。

解

${\frac {1}{3}}(x+3)={\frac {1}{2}}(2x-{\frac {3}{2}})$
$\Rightarrow {\frac {1}{3}}x+1=x-{\frac {3}{4}}$ (去括号)
$\Rightarrow 4x+12=12x-9$ (等式两边所有项都乘以 $3$ 与 $4$ 的最小公倍数 $12$ )
$\Rightarrow 4x-12x=-9-12$ (移项法则)
$\Rightarrow -8x=-21$ (化简左右两式)
$\Rightarrow x={\frac {21}{8}}$ (移项法则)

对于这种比较复杂的方程式，验算时可能会出错，通常在解题过程检查一下有没有出错，若过程没有出错，通常解都不会有问题的。
习题
解一元一次方程式 ${\frac {2}{3}}x+1={\frac {4}{5}}x-1$ 。^{[解 12]}

例题

13

解方程式

{\frac {x+2}{6}}-{\frac {3x+1}{4}}=5

。

解

${\frac {x+2}{6}}-{\frac {3x+1}{4}}=5$
$\Rightarrow 2(x+2)-3(3x+1)=60$ (等式两边所有项都乘以 $6$ 与 $4$ 的最小公倍数 $12$ ，记得要补上括号！)
$\Rightarrow 2x+4-9x-3=60$ (去括号)
$\Rightarrow -7x+1=60$ (化简左式)
$\Rightarrow -7x=60-1$ (移项法则)
$\Rightarrow -7x=59$ (化简右式)
$\Rightarrow x=-{\frac {59}{7}}$ (移项法则，除以 $-7$ )

但是在这边再次强调，如果你还是会担心自己解错，最好还是把答案代回去原本的式子。
习题
解一元一次方程式 ${\frac {2x+1}{3}}-{\frac {x+1}{5}}=2$ 。^{[解 13]}

而小数型的方程式可以先将小数化为分数再利用分数型的解题模式进行。

例题

14

解方程式

0.2(x-4)+0.5(2x+1)=1.3

。

解

$0.2(x-4)+0.5(2x+1)=1.3$
$\Rightarrow {\frac {2}{10}}(x-4)+{\frac {5}{10}}(2x+1)={\frac {13}{10}}$ (直接化分数，不用约分，反正等一下乘了数字 $10$ 就会都不见了)
$\Rightarrow 2(x-4)+5(2x+1)=13$ (同乘 $10$ )
$\Rightarrow 2x-8+10x+5=13$ (去括号)
$\Rightarrow 12x-3=13$ (整理左式)
$\Rightarrow 12x=16$ (移项法则， $-3$ 变 $+3$ )
$\Rightarrow x={\frac {16}{12}}={\frac {4}{3}}$ (移项法则， $\times 12$ 变 $\div 12$ )

可能有些反应很快的同学有发现到：根本不用换成分数再乘以 $10$ ，只要一开始乘以 $10$ 就好了。
如果有一位小数与二位小数混合时，你就应该同乘以 $100$ ，为了是让二次小数变成整数。下面这个习题就让同学们尝试看看这样的做法。
习题
解一元一次方程式 $0.3(2-3x)+0.25(2x+1)=1.25$ 。^{[解 14]}

有些题目可能会使用分数型，但是分子分母出现小数……这时就先针对每个分数进行扩分，让它变成正常分数型。

例题

15

解方程式

{\frac {0.4}{0.16}}+{\frac {0.09x+0.27}{0.09}}={\frac {1}{2}}

。

解

${\frac {0.4}{0.16}}+{\frac {0.09x+0.27}{0.09}}={\frac {1}{2}}$
$\Rightarrow {\frac {40}{16}}+{\frac {9x+27}{9}}={\frac {1}{2}}$ (将前面两个分数同乘 $100$ 扩分)
$\Rightarrow {\frac {5}{2}}+(x+3)={\frac {1}{2}}$ (化简左式)
$\Rightarrow {\frac {5}{2}}+x+3={\frac {1}{2}}$ (去括号)
$\Rightarrow 5+2x+6=1$ (同乘以 $2$ )
$\Rightarrow 2x+11=1$ (整理左式)
$\Rightarrow 2x=-10$ (移项法则， $+11$ 变 $-11$ )
$\Rightarrow x=-5$ (移项法则， $\times 2$ 变 $\div 2$ )

注意是扩分，也就是分子分母同乘以一个数，这时分数的值与原本的相同，故在例题 $15$ 之中 ${\frac {1}{2}}$ 没有同乘 $100$ 变成 $50$ 。

注解

↑ 在这里，我们用天平引入，但请注意结论是无论正数、负数都是成立的。

习题解答

↑ $x=6$
↑ $y=-2$
↑ $x=-2$
↑ $y=-1$
↑ $z=0$
↑ $x=-108$
↑ $x=4$
↑ $x=6$
↑ $x=12$
↑ $x=3$
↑ $x=1$
↑ $x=15$
↑ $x=4$
↑ $x=-1$

[1] 在这里，我们用天平引入，但请注意结论是无论正数、负数都是成立的。

[2] $x=6$

[3] $y=-2$

[4] $x=-2$

[5] $y=-1$

[6] $z=0$

[7] $x=-108$

[8] $x=4$

[9] $x=6$

[10] $x=12$

[11] $x=3$

[12] $x=1$

[13] $x=15$

[14] $x=4$

[15] $x=-1$

[注 1]

[解 1]

[解 2]

[解 3]

[解 4]

[解 5]

[解 6]

[解 7]

[解 8]

[解 9]

[解 10]

[解 11]

[解 12]

[解 13]

[解 14]

	$x=-2$
	$x=-3$
	$x=-4$
	$x=-5$

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

	$x=1$
	$x=2$
	$x=3$
	$x=4$

	$x=-1$
	$x=-7$
	$x=1$
	$x=7$

一元一次方程式

一元一次方程式的解

解方程式的方法：等量公理[注 1]

等量加法公理

等量减法公理

等量乘法公理

等量除法公理

运用等量公理解方程式

解方程式的方法：移项法则

一元一次方程式的判别

解一元一次方程式

题型1：等号单边有未知数

题型2：等号两边都有未知数

题型3：解含括号的一元一次方程式

解多重括号的方程式

类型4：分数型与小数型

注解

习题解答

解方程式的方法：等量公理^{[注 1]}