本章節針對前一個單元所教的一元一次方程式,提供一些常見的應用問題。
- 假設未知數。
- 依題意列出一元一次方程式。
- 解一元一次方程式。
- 驗算、檢查解是否合乎情境。
- 寫答,若沒有符合情境則回答「無解」。
例題 ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) 宇蓁到便利商店買 ![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) 個相同價錢的御飯糰和 ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) 瓶 ![{\displaystyle 42}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5abbb0f0316fecd2958f85a7d83b9f3df0ddd0e) 元的優酪乳,在沒有任何促銷優惠下,總共花了 ![{\displaystyle 108}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52c2fd3a8c28d6ce284eb0b1103352cd7db6249) 元。請問 宇蓁買的御飯糰每個幾元?
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例題 [註 1]冰涼飲料店每杯古早味紅茶比每杯珍珠奶茶便宜 ![{\displaystyle 20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54c80a7183ec4efa84bba969ef7894f5d78e70c) 元。 億賢到 冰涼飲料店買了 ![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) 杯古早味紅茶和 ![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) 杯珍珠奶茶,總共花了 ![{\displaystyle 185}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d045bfdcb7ba19e8bfa714ddbe036cf44992d0b7) 元,請問 冰涼飲料店每杯珍珠奶茶多少元?
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一般來說,分配問題通常會假設「每人分配數量」為
,並利用「要分配物的數量」列出一元一次方程式。
例題 ![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) 珮瑜買了一袋巧克力要請全班吃。如果每人分 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) 顆時會多出 ![{\displaystyle 12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39) 顆,但每人分 ![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8) 顆時則會少 ![{\displaystyle 28}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88f99b6131febe59de9aeeb35f429c94fa36e78) 顆,則 珮瑜班上有多少人?
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例題 ![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) 廣祈與 義偉為一對兄弟,媽媽每週都會給他們總共 ![{\displaystyle 1000}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9060e16491f890b9fbcce0194c8d454cbee309ea) 元當作零用錢,但是因為 義偉上一週比較不聽話,所以媽媽在這週分給 義偉的錢是 廣祈的 ![{\displaystyle {\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19eee5d63f2cf9106dc531cdfdea8cfb8f34b2cf) 倍還少 ![{\displaystyle 50}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e5f8966bed37734cd86d4fd3c302913bb6d48b) 元,則 廣祈這週的零用錢為多少元?
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速率問題的根本為「距離
時間
速率」。底下會一一說明。
例題 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) 彤雯和朋友一起去爬山,她們來回走相同的山路,已知她們上山的速率為每小時 ![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) 公里,下山的速率為每小時 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) 公里,她們來回一趟總共花了 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) 小時。請問她們爬的山路長度為多少公里?
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例題 ![{\displaystyle 6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d81124420a058a7474dfeda48228fb6ee1e253) 仕杰每天以固定速率騎腳踏車走相同的路程去上課,他需要花 ![{\displaystyle 15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea331af19ed2ccc36bb864409b6c305e18cff30f) 分鐘才能到學校,但如果他把時速提升 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) 公里,則他可以提早 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) 分鐘到學校。請問 仕杰平時固定以每小時多少公里的速度騎腳踏車到學校?
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你注意到了嗎?簡單來說,速率問題一定會有一個(距離、時間、速率)是知道的,其中一個是你假設的,所以利用這兩個關係找出第三個,就能夠作速率問題嘍!
年齡問題的核心在於年齡問題是共進退的,一個增加幾歲,另外一個也會增加幾歲;同理,一個減少幾歲,另外一個也會減少幾歲。另外,兩人在每一個年度的年齡差是相等的。
例題 ![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8) 阿姨和 冠群今年相差 ![{\displaystyle 28}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88f99b6131febe59de9aeeb35f429c94fa36e78) 歲。五年前,阿姨的年齡是 冠群的 ![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) 倍少 ![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) 歲,則阿姨今年幾歲?
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解幾何問題有的時候會需要使用一元一次方程式來解題。這類的問題會使用幾何圖形的基本性質列出等式,之後解出未知數。常見的幾何性質有:
- 三角形內角和
度,外角和
度。
- 面積公式。
- 長方形面積公式為長
寬。
- 平行四邊形的面積公式為底
高。
- 三角形面積公式為
底
高。
- 梯形面積公式為
上底
下底
高。
- 周長公式。
- 正方形周長公式為邊長
。
- 長方形周長公式為
長
寬
。
- 平行四邊形周長公式為鄰邊之和
。
- 正多邊形周長公式為邊長
邊數。
- 圓形周長公式為半徑
圓周率
直徑
圓周率[註 2]。
例題 ![{\displaystyle 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5) 有一個梯形,它的面積為 ![{\displaystyle 72}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021c997d5cf56aa0e5f533c7d9b489129017e693) 平方公分,其中上底比下底長 ![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) 公分,高為 ![{\displaystyle 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5) 公分,則此梯形的上底為多少公分?
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解 假設梯形上底為 ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) 公分,下底為 ![{\displaystyle x-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3e1652f4f914f86253b416bd4a7cd65775b731) 公分,因為已知高與面積,故可以列出一元一次不等式 ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\times \ [x+(x-4)]\times 8=72\Rightarrow (2x-4)\times 8=144\Rightarrow 2x-4=18\Rightarrow 2x=22\Rightarrow x=11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d697054c9eb66aab27f5ffb4879d9b053eb983) ,故上底為 ![{\displaystyle 11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6aabe7c6af49fe640b2d401cb2dbe909bb7475) 公分。
答案: 公分
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有些數學魔術可以利用一元一次方程式來解題。此類問題會先假設原本的數字為
,然後依據魔術過程列出等式,再解
求得對方心裡想的數。有時也會利用到一元一次式的化簡,因為原本的式子只是恆等式,所以必定會獲得某一種結果。
例題 ![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) 平次想要展示魔術給 和葉。 平次請 和葉先想一個大於 ![{\displaystyle 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0) 的二位數,然後將這個數先乘以 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) ,然後減去 ![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) ,答案再乘以 ![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) , 和葉的結果為 ![{\displaystyle 152}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e996d076039352b9a0895374c788d8807a0a5b3) ,則 和葉心裡想的數是多少?
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解 假設 和葉想的數是 ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) ,依題意,先乘以 ![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) 得到 ![{\displaystyle 5x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adce1d349cd87969996dd19d6f1c75a30926372) ,然後減去 ![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) 得到 ![{\displaystyle 5x-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db44958971a1cd7ccf39cce16926309b94ac5832) ,最後再乘以 ![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) 得到 ![{\displaystyle 2(5x-4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d3df04a391e2855b64ef24a86c20fa388fe5c8) ,而這個數是 ![{\displaystyle 152}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e996d076039352b9a0895374c788d8807a0a5b3) ,所以列出一元一次方程式 ![{\displaystyle 2(5x-4)=152}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c085bd85876f3467b426c636a7c2d1a14ca8e08e) 。展開得 ![{\displaystyle 10x-8=152}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aaed6dcc9f5807d15367cfc98bf2bba309618da) ,移項得 ![{\displaystyle 10x=160}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbc8673326cf36366cb9e35c8107d1b5444d70c) , ![{\displaystyle x=16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93953c16ee10ba28f8a189a6b67366aa9d2fc67b) , 和葉想的數是 ![{\displaystyle 16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960615e346e1c003a911f45b1225113ea01b4ff7) 。
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上面這個例題的魔術變法就是只要她的答案前兩位數加
就是答案。
習題
請你自己設計一個數學魔術!這個數學魔術至少要讓參加者做三個步驟以上。
在解應用問題的時候要注意有的時候答案可能會出現不合理的情況。如爸爸的年紀小於兒子、人數為非正整數、邊長為負數等等。這時,我們會稱此應用問題沒有合理的解。
例題 ![{\displaystyle 10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec811eb07dcac7ea67b413c5665390a1671ecb0) :不合理的解 若四個連續奇數的和是 ![{\displaystyle 60}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cef1e5bbfe2c0fea5bd36788b3970ff98b9617c) ,試求出此四個連續奇數分別是多少?
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解 設最小的奇數為 ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) ,則另外三數分別是 ![{\displaystyle (x+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8811b36c69524d0f8cb1aedc0f6118b2cf28b01b) 、 ![{\displaystyle (x+4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22754a9c17f7b9338ac3fc6590d4db51213857b9) 與 ![{\displaystyle (x+6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e590a8ba53b79070f7a026a2191e364fbf3eb6ec) ,
注意
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任意兩個連續奇數都相差 。
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依題意可以列出一元一次方程式 ,
化簡得 ,但 為奇數,故不合,此題無解。
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- ↑ 此類問題也可以利用二元一次聯立方程式來求解。
- ↑ 圓周率在國中階段使用
,它是一個希臘字母,讀作「ㄆㄞ」。