國中數學/國中數學七年級/3-3 一元一次方程式的應用問題

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 3-2 解一元一次方程式的應用問題 國中數學七年級
3-3 一元一次方程式的應用問題
4-1 二元一次方程式 

本章節針對前一個單元所教的一元一次方程式,提供一些常見的應用問題。

一元一次方程式的應用問題解題步驟[编辑]

  1. 假設未知數。
  2. 依題意列出一元一次方程式。
  3. 解一元一次方程式。
  4. 驗算、檢查解是否合乎情境。
  5. 寫答,若沒有符合情境則回答「無解」。

價錢問題[编辑]

簡易價格問題[编辑]

例題
宇蓁到便利商店買個相同價錢的御飯糰和元的優酪乳,在沒有任何促銷優惠下,總共花了元。請問宇蓁買的御飯糰每個幾元?
步驟
過程與內容
1.假設未知數 宇蓁買的御飯糰每個元。
2.依題意列出一元一次方程式 宇蓁個御飯糰,要花元,再加上優酪乳元,宇蓁需要花元,根據題意,宇蓁實際花了元,可以列出一元一次方程式
3.解一元一次方程式。
4.驗算、檢查解是否合乎情境。 ,故的解,而符合情境,故每個御飯糰元。
5.寫答 答:每個御飯糰元。


兩物件價格問題[编辑]

例題[註 1]
冰涼飲料店每杯古早味紅茶比每杯珍珠奶茶便宜元。億賢冰涼飲料店買了杯古早味紅茶和杯珍珠奶茶,總共花了元,請問冰涼飲料店每杯珍珠奶茶多少元?
步驟
過程與內容
1.假設未知數 冰涼飲料店每杯珍珠奶茶元,則每杯古早味紅茶元。
2.依題意列出一元一次方程式 杯古早味紅茶,要付元;

杯珍珠奶茶,要付元,總共要花元,
又實際花了元,故可以列出一元一次方程式

3.解一元一次方程式。
4.驗算、檢查解是否合乎情境。 ,故的解,而符合題意,故每杯珍珠奶茶元。
5.寫答 答:每杯珍珠奶茶元。


分配問題[编辑]

一般來說,分配問題通常會假設「每人分配數量」為,並利用「要分配物的數量」列出一元一次方程式。

例題
珮瑜買了一袋巧克力要請全班吃。如果每人分顆時會多出顆,但每人分顆時則會少顆,則珮瑜班上有多少人?
步驟
過程與內容
1.假設未知數 珮瑜班上總共有人。
2.依題意列出一元一次方程式 珮瑜每人分顆巧克力時,總共需要顆,再加上剩餘的顆,這袋巧克力總共有顆;

珮瑜每人分顆巧克力時,總共需要顆,但因為不夠顆,所以這袋巧克力只有顆。
兩種算法巧克力的數量應該一樣,故可以列出一元一次方程式

3.解一元一次方程式。
4.驗算、檢查解是否合乎情境。 ,故的解,而符合題意,故珮瑜班上總共有人。
5.寫答 答:珮瑜班上總共有人。


例題
廣祈義偉為一對兄弟,媽媽每週都會給他們總共元當作零用錢,但是因為義偉上一週比較不聽話,所以媽媽在這週分給義偉的錢是廣祈倍還少元,則廣祈這週的零用錢為多少元?
步驟
過程與內容
1.假設未知數 廣祈元的零用錢,而義偉的零用錢為廣祈倍還少元,所以義偉的零用錢有元。
2.依題意列出一元一次方程式 兩人總共有元,故可以列出一元一次方程式
3.解一元一次方程式。
4.驗算、檢查解是否合乎情境。 ,故的解,而符合題意,故廣祈的零用錢有元。
5.寫答 答:廣祈本週的零用錢有元。

速率問題[编辑]

速率問題的根本為「距離時間速率」。底下會一一說明。

例題
彤雯和朋友一起去爬山,她們來回走相同的山路,已知她們上山的速率為每小時公里,下山的速率為每小時公里,她們來回一趟總共花了小時。請問她們爬的山路長度為多少公里?
假設山路長公里,因為我們知道速率與距離(我們假設的),故我們應該用表示上下山的時間。

由上山速率為每小時公里與距離時間速率可知上山時間小時;
同理,由下山速率為每小時公里與距離時間速率可知下山時間小時。
而總時間為小時,所以可以列出一元一次方程式
可以同乘得到
故山路長公里。
答案:公里。


例題
仕杰每天以固定速率騎腳踏車走相同的路程去上課,他需要花分鐘才能到學校,但如果他把時速提升公里,則他可以提早分鐘到學校。請問仕杰平時固定以每小時多少公里的速度騎腳踏車到學校?
假設仕杰每天以時速公里上學,因為我們知道仕杰的速率與時間,故我們應該用表示距離。

因為原本的速率為時速公里,所以他上學的距離原本是公里,而增加時速為公里,所以他上學的距離利用新速率算是公里。都是相同路程,所以可以列出一元一次方程式
可以同乘得到
仕杰每天以時速公里的速度上學。
答案:時速公里。


你注意到了嗎?簡單來說,速率問題一定會有一個(距離、時間、速率)是知道的,其中一個是你假設的,所以利用這兩個關係找出第三個,就能夠作速率問題嘍!

年齡問題[编辑]

年齡問題的核心在於年齡問題是共進退的,一個增加幾歲,另外一個也會增加幾歲;同理,一個減少幾歲,另外一個也會減少幾歲。另外,兩人在每一個年度的年齡差是相等的

例題
阿姨和冠群今年相差歲。五年前,阿姨的年齡是冠群倍少歲,則阿姨今年幾歲?
假設阿姨五年前歲,則冠群五年前歲,

又已知當時阿姨的年齡是冠群倍少歲,故可以列出一元一次方程式
先展開再移項化簡可得
故阿姨今年歲。
答案:阿姨今年歲。

幾何問題[编辑]

解幾何問題有的時候會需要使用一元一次方程式來解題。這類的問題會使用幾何圖形的基本性質列出等式,之後解出未知數。常見的幾何性質有:

  • 三角形內角和度,外角和度。
  • 面積公式。
    1. 長方形面積公式為長寬。
    2. 平行四邊形的面積公式為底高。
    3. 三角形面積公式為高。
    4. 梯形面積公式為上底下底高。
  • 周長公式。
    1. 正方形周長公式為邊長
    2. 長方形周長公式為
    3. 平行四邊形周長公式為鄰邊之和
    4. 正多邊形周長公式為邊長邊數。
    5. 圓形周長公式為半徑圓周率直徑圓周率[註 2]
例題
有一個梯形,它的面積為平方公分,其中上底比下底長公分,高為公分,則此梯形的上底為多少公分?
假設梯形上底為公分,下底為公分,因為已知高與面積,故可以列出一元一次不等式,故上底為公分。

答案:公分

數學魔術[编辑]

有些數學魔術可以利用一元一次方程式來解題。此類問題會先假設原本的數字為,然後依據魔術過程列出等式,再解求得對方心裡想的數。有時也會利用到一元一次式的化簡,因為原本的式子只是恆等式,所以必定會獲得某一種結果。

例題
平次想要展示魔術給和葉平次和葉先想一個大於的二位數,然後將這個數先乘以,然後減去,答案再乘以和葉的結果為,則和葉心裡想的數是多少?
假設和葉想的數是,依題意,先乘以得到,然後減去得到,最後再乘以得到,而這個數是,所以列出一元一次方程式。展開得,移項得和葉想的數是

上面這個例題的魔術變法就是只要她的答案前兩位數加就是答案。

習題
請你自己設計一個數學魔術!這個數學魔術至少要讓參加者做三個步驟以上。

不合理的解[编辑]

在解應用問題的時候要注意有的時候答案可能會出現不合理的情況。如爸爸的年紀小於兒子、人數為非正整數、邊長為負數等等。這時,我們會稱此應用問題沒有合理的解

例題:不合理的解
若四個連續奇數的和是,試求出此四個連續奇數分別是多少?
設最小的奇數為,則另外三數分別是
注意
任意兩個連續奇數都相差

依題意可以列出一元一次方程式
化簡得,但為奇數,故不合,此題無解。

註解[编辑]

  1. 此類問題也可以利用二元一次聯立方程式來求解。
  2. 圓周率在國中階段使用,它是一個希臘字母,讀作「ㄆㄞ」。