國中數學/國中數學七年級/3-2 解一元一次方程式

3-1 一元一次式

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國中數學七年級 3-2 解一元一次方程式

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3-3 一元一次方程式的應用問題

在上個單元我們學到的式子的化簡，當時有提過式子的值：

• 已知$x=10$，則式子$2x+7=2\times 10+7=20+7=27$

現在我們想要反過來問：在$x$是多少的情況下，式子$2x+7$的值剛好是$27$呢？這個問題很簡單，我們剛剛代入的$x=10$就是其中一個答案，但是我們想問的是：還有沒有其他答案？
如果沒有測試過，我們想知道在$x$是多少的情況下，式子$2x+7$的值剛好是$10$？
本單元將解決這樣類型的問題。

一元一次方程式

以前我們有使用（ ）或是□代表未知數的值，如：

1. 雨婷原本有一些糖果，她吃掉了$15$顆，還剩下$13$顆。雨婷原本有幾顆糖果？
   • 設雨婷有（ ）顆糖果，根據題意可以列出式子（ ）$-15=13$，可以知道（ ）$=13+15=28$，所以雨婷原本有$28$顆糖果。
2. 雨婷有$28$顆糖果，剛好是若帆擁有糖果數量的$4$倍。若帆有幾顆糖果？
   • 設若帆有（ ）顆糖果，根據題意可以列出式子（ ）$\times 4=28$，可以知道（ ）$=28÷4=7$，所以若帆有$7$顆糖果。

在前一個單元我們有提到，於國中階段以後，我們習慣用小寫英文字母$x$、$y$、$z$等字母代替未知數，所以上面的列式就會變為

1. 雨婷原本有一些糖果，她吃掉了$15$顆，還剩下$13$顆。雨婷原本有幾顆糖果？
   • 設雨婷有$x$顆糖果，根據題意可以列出式子$x-15=13$，可以知道$x=13+15=28$，所以雨婷原本有$28$顆糖果。
2. 雨婷有$28$顆糖果，剛好是若帆擁有糖果數量的$4$倍。若帆有幾顆糖果？
   • 設若帆有$y$顆糖果，根據題意可以列出式子$y\times 4=28$，可以知道$y=28÷4=7$，所以若帆有$7$顆糖果。

在上面兩個例子出現的$x-15=13$與$y\times 4=28$這種未知數只有一個，而且未知數最高次方為一次，最後面還有出現等號的算式，我們稱作一元一次方程式。我們在之後說明如何判別一個式子是不是一元一次方程式。

一元一次方程式的解

如果$x=a$可以讓一元一次方程式成立，那我們稱$x=a$是一元一次方程式的一個解。

例題$1$ 檢查$x=3$、$x=\frac{3}{2}$、$x=\frac{5}{2}$三個數中，哪一個是方程式$2x+7=10$的解？

解 小提醒 如果文字符號直接出現在數字的後面，這代表省略了乘號($\times$)唷！ 將$x=3$、$x=\frac{3}{2}$、$x=\frac{5}{2}$分別代入$2x+7$，看看哪個等於$10$。 $(1)x=3$時：$2x+7=2\times 3+7=6+7=13$，並不等於$10$，所以$x=3$不是$2x+7=10$的解。 $(2)x=\frac{3}{2}$時：$2x+7=2\times \frac{3}{2}+7=3+7=10$，剛好等於$10$，所以$x=\frac{3}{2}$是$2x+7=10$的解。 $(3)x=\frac{5}{2}$時：$2x+7=2\times \frac{5}{2}+7=5+7=12$，並不等於$10$，所以$x=\frac{5}{2}$不是$2x+7=10$的解。 故$x=\frac{3}{2}$是$2x+7=10$的解。

小測

答對得到的分數：
答錯的分數：
忽略問題的係數：

1

以下哪個數是$5x+3=18$的解？

	$x=1$
	$x=2$
	$x=3$
	$x=4$

2

以下哪個數是$8-6x=14$的解？

	$x=-1$
	$x=-7$
	$x=1$
	$x=7$

3

以下哪個數是$5(y+1)=3y-1$的解？

	$x=-2$
	$x=-3$
	$x=-4$
	$x=-5$

解方程式的方法：等量公理

等量加法公理

如下圖，在天平左端放置一顆圓球，右端放置200公克的砝碼，兩端剛好平衡。

如果圓球的重量是$x$公克，那麼上圖的平衡狀態我們可以寫作$x=200$。

• 如果左右兩端各加上一個100公克的砝碼，那麼平衡也不會改變。

• 此時，上圖的平衡狀態我們可以寫作$x+100=200+100$。
• 事實上，只要一開始平衡，左右兩端加上相同重量的物品，也不會改變平衡的狀態，此即：

 若$a=b$且$c$是任意一個數，則$a+c=b+c$。

等量減法公理

與剛剛反過來，如下圖，在天平左端放置1顆圓球與1個100公克的砝碼，右端放置200公克與100公克的砝碼各1個，兩端剛好平衡。

如果左側的重量總共是$y$公克，我們可以記作$y=300$

• 如果左右兩端各自拿走那1個100公克的砝碼，那麼平衡也不會改變。

• 此時，上圖的平衡狀態我們可以寫作$y-100=200-100$。
• 事實上，只要一開始平衡，左右兩端拿走相同重量，也不會改變平衡的狀態，此即：

 若$a=b$且$c$是任意一個數，則$a-c=b-c$。

等量乘法公理

如下圖，在天平左端放置一顆圓球，右端放置200公克的砝碼，兩端剛好平衡。

如果圓球的重量是$x$公克，那麼上圖的平衡狀態我們可以寫作$x=200$。

• 如果左右兩端變成原本數量的3倍，那麼平衡也不會改變。

• 此時，上圖的平衡狀態我們可以寫作$x\times 3=200\times 3$。
• 事實上，只要一開始平衡，左右兩端各自變成原來相同的某個倍數也不會改變平衡的狀態，此即：

 若$a=b$且$c$是任意一個數，則$a\times c=b\times c$。

等量除法公理

與剛剛反過來，如下圖，在天平左端放置3顆圓球，右端放置3個200公克的砝碼，兩端剛好平衡。

如果左端總重量是$z$公克，那麼上圖的平衡狀態我們可以寫作$z=600$。

• 如果左右兩端變成原本數量的$\frac{1}{3}$倍(也就是除以3)，那麼平衡也不會改變。

• 此時，上圖的平衡狀態我們可以寫作$z÷3=600÷3$。
• 事實上，只要一開始平衡，左右兩端各自除以相同的某數也不會改變平衡的狀態，但是不能除以$0$，此即：

 若$a=b$且$c$是不為$0$的任意一個數，則$a÷c=b÷c$。

運用等量公理解方程式

目標是讓未知數$(x)$只出現在等式的左邊。

$Q1.$解方程式$x-105=124$。

解：$x-105=124$
$\Rightarrow x-105+105=124+105$(等量加法公理)
$\Rightarrow x=124+105$(化簡左邊式子)
$\Rightarrow x=229$

$Q2.$解方程式$x+33=97$。

解：$x+33=97$
$\Rightarrow x+33-33=97-33$(等量減法公理)
$\Rightarrow x=97-33$(化簡左邊式子)
$\Rightarrow x=64$

$Q3.$解方程式$x÷12=15$。

解：$x÷12=15$
$\Rightarrow x÷12\times 12=15\times 12$(等量乘法公理)
$\Rightarrow x=15\times 12$(化簡左邊式子)
$\Rightarrow x=180$

$Q4.$解方程式$x\times 47=1880$。

解：$x\times 47=1880$
$\Rightarrow x\times 47÷47=1880÷47$(等量除法公理)
$\Rightarrow x=1880÷47$(化簡左邊式子)
$\Rightarrow x=40$

解方程式的方法：移項法則

注意上面$Q1$到$Q4$，如果移除等量公理那一步：

$x-105=124$
$\Rightarrow x=124+105$
$\Rightarrow x=229$

$x+33=97$
$\Rightarrow x=97-33$
$\Rightarrow x=64$

$x÷12=15$
$\Rightarrow x=15\times 12$
$\Rightarrow x=180$

$x\times 47=1880$
$\Rightarrow x=1880÷47$
$\Rightarrow x=40$

有注意到嗎？

設$a$、$b$為兩個數，則
$1.x+a=b\Rightarrow x=b-a$
$2.x-a=b\Rightarrow x=b+a$
$3.x\times a=b\Rightarrow x=b÷a(a\ne 0)$
$4.x÷a=b\Rightarrow x=b\times a(a\ne 0)$

以上四式稱為移項法則。

請注意：無論是等量公理或是移項法則，就算$a$、$b$、$c$是未知數或是代數式也是可以的。但未知數或代數式必須確定該式不等於$0$才能夠進行除法運算。

一元一次方程式的判別

為了嚴格分辨方程式，所以我們必須嚴格定義一元一次方程式的形式，如下：

一元一次方程式

式子經由化簡之後形如$ax=b$的形式，其中$a\ne 0$。

有些方程式看起來很像一元一次方程式，但是我們不能確定，這時我們可以利用移項法則，確定是否能夠整理成$ax=b$且$a\ne 0$的形式。

舉些例子：

• $\frac{x}{7}=5$是一元一次方程式，因為$\frac{x}{7}=5$可以改寫成$\frac{1}{7}x=5$，符合$ax=b$且$a\ne 0$的形式。
• $6x+2=3(2x+7)$不是一元一次方程式，因為$6x+2=3(2x+7)\Rightarrow 6x+2=6x+21\Rightarrow 6x-6x=21-2\Rightarrow 0x=19$，不符合$a\ne 0$。

接下來要解的式子都是一元一次方程式。

解一元一次方程式

在解方程式的時候，我們的目標就是讓等式一邊只剩下單一未知數。無論是使用等量公理或是移項法則，一般來說我們都會將將常數項(沒有未知數的項)挪到等號右邊，有未知數移到等號左邊，最後形成$ax=b$的算式，$x=\frac{b}{a}$。其實這也就解答了一開始所提的問題：一元一次方程式$2x+7=27$的解只有一個可能，也就是$x=10$。

題型1：等號單邊有未知數

例題$2$ 解方程式$4x-7=13$。

解 移項法則 等量公理 $4x-7=13$ $\Rightarrow 4x=13+7$(移項法則：將$-7$從等號左邊移到右邊，要變成$+7$) $\Rightarrow 4x=20$(化簡等號右邊) $\Rightarrow x=20÷4$(移項法則：將$\times 4$從等號左邊移到右邊，要變成$÷4$) $\Rightarrow x=5$ $4x-7=13$ $\Rightarrow 4x-7+7=13+7$(等量公理：兩邊同時$+7$) $\Rightarrow 4x=20$(整理左右兩式) $\Rightarrow 4x÷4=20÷4$(等量公理：兩邊同時$÷4$) $\Rightarrow x=5$

要確定自己有沒有算錯，可以將$x$帶回去原式檢驗看看，這個動作我們稱為「驗算」。我們建議初學者在解完方程式的時候都必須做驗算的動作。

 驗算：等號左邊＝$4\times 5-7=20-7=13$，等於等號右邊。

習題
解下列一元一次方程式：
$(1)3x+5=23$
$(2)6-7y=20$

題型2：等號兩邊都有未知數

例題$3$ 解方程式$7x-5=6x+10$。

解 移項法則 等量公理 $7x-5=6x+10$ $\Rightarrow 7x=6x+10+5$ $\Rightarrow 7x-6x=10+5$ $\Rightarrow x=15$ $7x-5=6x+10$ $\Rightarrow 7x-5+5=6x+10+5$ $\Rightarrow 7x-6x=6x+15-6x$ $\Rightarrow 7x-6x=15$ $\Rightarrow x=15$

 驗算：等號左邊$=7\times 15-5=105-5=100$，等號右邊$=6\times 15+10=90+10=100$，兩邊相同。

接下來的例題，我們都採用「移項法則」的方式，其實這是基於「等量公理」的原則，兩者作法大同小異。

例題$4$ 解方程式$7x-4=5x+6$。

解 $7x-4=5x+6$ $\Rightarrow 7x=5x+6+4$ $\Rightarrow 7x-5x=6+4$ $\Rightarrow 2x=10$ $\Rightarrow x=10÷2$ $\Rightarrow x=5$

如果你很熟練或是習慣的時候，例題$4$你可以這麼做：
$7x-4=5x+6$
$\Rightarrow 7x-5x=6+4$
$\Rightarrow 2x=10$
$\Rightarrow x=5$

 驗算：等號左邊$=7\times 5-4=35-4=31$，等號右邊$=5\times 5+6=25+6=31$，兩邊相同。

例題$5$ 解方程式$7x=5x$。

這個題目如果你同除以一個$x$就會得到$7=5$，所以原題目無解？！
那你就錯了，因為你不能同時除以$x$這個你完全無法確定它是不是$0$的式子！而其實這題的解真的就是$x=0$…

解 $7x=5x$ $\Rightarrow 7x-5x=0$(等號一端沒東西，記得要補$0$！) $\Rightarrow 2x=0$ $\Rightarrow x=0$

 驗算：等號左邊$=7\times 0=0$，等號右邊$=5\times 0=0$，兩邊相同。

習題
解下列一元一次方程式：
$(1)2x+5=7+3x$
$(2)10-4y=15+y$
$(3)6z-7=3z-7$

題型3：解含括號的一元一次方程式

例題$6$ 解方程式$3(x-4)=15$。

解 $3(x-4)=15$ $\Rightarrow x-4=15÷3$(移項法則) $\Rightarrow x-4=5$(整理等號右邊) $\Rightarrow x=5+4$(移項法則) $\Rightarrow x=9$(整理等號右邊)

例題$6$你也可以先去括號再做：
$3(x-4)=15$
$\Rightarrow 3x-12=15$(去括號)
$\Rightarrow 3x=15+12$(移項法則)
$\Rightarrow 3x=27$(整理等號右邊)
$\Rightarrow x=27÷3$(移項法則)
$\Rightarrow x=9$(整理等號右邊)

 驗算：等號左邊$=3\times (9-4)=3\times 5=15$，等於等號右邊。

習題
解一元一次方程式$-98(x+109)=-98$。

例題$7$ 解方程式$2(2x+9)=14$。

解 $2(2x+9)=14$ $\Rightarrow 2x+9=14÷2$(移項法則) $\Rightarrow 2x+9=7$(整理等號右邊) $\Rightarrow 2x=7-9$(移項法則) $\Rightarrow 2x=-2$(整理等號右邊) $\Rightarrow x=-2÷2$(移項法則) $\Rightarrow x=-1$(整理等號右邊)

當然，例題$7$你也可以先去括號再做：
$2(2x+9)=14$
$\Rightarrow 4x+18=14$(去括號)
$\Rightarrow 4x=14-18$(移項法則)
$\Rightarrow 4x=-4$(整理等號右邊)
$\Rightarrow x=-4÷4$(移項法則)
$\Rightarrow x=-1$(整理等號右邊)
而在這題似乎這樣的方法更加簡便。其實在解方程式的時候，適當的選擇比較好解的方式也是相當重要的。

 驗算：等號左邊$=2\times [2\times (-1)+9]=2\times [(-2)+9]=2\times 7=14$，等於等號右邊。

習題
解一元一次方程式$3(4x-1)=45$。

例題$8$ 解方程式$(x+7)-(4x-2)=15$。

解 $(x+7)-(4x-2)=15$ $\Rightarrow x+7-4x+2=15$(去括號) $\Rightarrow -3x+9=15$(合併同類項) $\Rightarrow -3x=15-9$(移項法則) $\Rightarrow -3x=6$(整理等號右邊) $\Rightarrow x=6÷(-3)$(移項法則) $\Rightarrow x=-2$(整理等號右邊)

 驗算：等號左邊$=(-2+7)-[4\times (-2)-2]=5-(-10)=15$，等於等號右邊。

習題
解一元一次方程式$(4x-5)+(2x+7)=38$。

例題$9$ 解方程式$3(2x+7)-4(3x-2)=7$。

解 $3(2x+7)-4(3x-2)=7$ $\Rightarrow 6x+21-12x+8=7$(去括號) $\Rightarrow -6x+29=7$(合併同類項) $\Rightarrow -6x=7-29$(移項法則) $\Rightarrow -6x=-22$(整理等號右邊) $\Rightarrow x=-22÷(-6)$(移項法則) $\Rightarrow x=\frac{11}{3}$(整理等號右邊)

 驗算：等號左邊$=3\times (2\times \frac{11}{3}+7)-4\times (3\times \frac{11}{3}-2)=3\times (\frac{22}{3}+7)-4\times (11-2)=3\times (\frac{22}{3}+\frac{21}{3})-4\times 9=3\times \frac{43}{3}-36=43-36=7$，等於等號右邊。

習題
解一元一次方程式$2(3x-1)-3(x+5)=19$。

解多重括號的方程式

解多重括號的方程式可以先去小括號，也可以先去中括號或是大括號。以下是幾個例題：

例題$10$ 解方程式$3x-[(2x+3)-3(5x+2)]=99$。

解 $3x-[(2x+3)-3(5x+2)]=99$ $\Rightarrow 3x-[2x+3-15x-6]=99$(去小括號) $\Rightarrow 3x-[-13x-3]=99$(化簡中括號內的項) $\Rightarrow 3x+13x+3=99$(去中括號) $\Rightarrow 3x+13x=99-3=$(移項法則) $\Rightarrow 16x=96$(整理左右二式) $\Rightarrow x=96÷16$(移項法則) $\Rightarrow x=6$(整理等號右邊)

 驗算：等號左邊$=3\times 6-[(2\times 6+3)-3\times (5\times 6+2)]=18-[(12+3)-3\times (30+2)]=18-[15-3\times 32]=18-[15-96]=18-(-81)=18+81=99$，等於等號右邊。

習題
解一元一次方程式$2[3x-2(5x+4)]-5=-21x$。

例題$11$ 解方程式$3\{2[4(x-1)+3]-2\}+1=109$。

解 $3\{2[4(x-1)+3]-2\}+1=109$ $\Rightarrow 3\{2[4(x-1)+3]-2\}=109-1$(移項法則) $\Rightarrow 3\{2[4(x-1)+3]-2\}=108$(計算右式) $\Rightarrow 2[4(x-1)+3]-2=108÷3$(移項法則) $\Rightarrow 2[4(x-1)+3]-2=36$(計算右式) $\Rightarrow 2[4(x-1)+3]=36+2$(移項法則) $\Rightarrow 2[4(x-1)+3]=38$(計算右式) $\Rightarrow 4(x-1)+3=38÷2$(移項法則) $\Rightarrow 4(x-1)+3=19$(計算右式) $\Rightarrow 4(x-1)=19-3$(移項法則) $\Rightarrow 4(x-1)=16$(計算右式) $\Rightarrow x-1=16÷4$(移項法則) $\Rightarrow x-1=4$(計算右式) $\Rightarrow x=4+1$(移項法則) $\Rightarrow x=5$(計算右式)

 驗算：等號左邊$=3\times \{2\times [4\times (5-1)+3]-2\}+1=3\times \{2\times [4\times 4+3]-2\}+1=3\times \{2\times [16+3]-2\}+1=3\times \{2\times 19-2\}+1=3\times \{38-2\}+1=3\times 36+1=108+1=109$，等於等號右邊。

習題
解一元一次方程式$5\{4[3(2x-1)-2]-3\}-4=1$。

類型4：分數型與小數型

解分數型的方程式可以先將方程式同乘以一個整數，讓方程式變成全整數的形式再解會比較方便。

例題$12$ 解方程式$\frac{1}{3}(x+3)=\frac{1}{2}(2x-\frac{3}{2})$。

解 $\frac{1}{3}(x+3)=\frac{1}{2}(2x-\frac{3}{2})$ $\Rightarrow \frac{1}{3}x+1=x-\frac{3}{4}$(去括號) $\Rightarrow 4x+12=12x-9$(等式兩邊所有項都乘以$3$與$4$的最小公倍數$12$) $\Rightarrow 4x-12x=-9-12$(移項法則) $\Rightarrow -8x=-21$(化簡左右兩式) $\Rightarrow x=\frac{21}{8}$(移項法則)

對於這種比較複雜的方程式，驗算時可能會出錯，通常在解題過程檢查一下有沒有出錯，若過程沒有出錯，通常解都不會有問題的。
習題
解一元一次方程式$\frac{2}{3}x+1=\frac{4}{5}x-1$。

例題$13$ 解方程式$\frac{x+2}{6}-\frac{3x+1}{4}=5$。

解 $\frac{x+2}{6}-\frac{3x+1}{4}=5$ $\Rightarrow 2(x+2)-3(3x+1)=60$(等式兩邊所有項都乘以$6$與$4$的最小公倍數$12$，記得要補上括號！) $\Rightarrow 2x+4-9x-3=60$(去括號) $\Rightarrow -7x+1=60$(化簡左式) $\Rightarrow -7x=60-1$(移項法則) $\Rightarrow -7x=59$(化簡右式) $\Rightarrow x=-\frac{59}{7}$(移項法則，除以$-7$)

但是在這邊再次強調，如果你還是會擔心自己解錯，最好還是把答案代回去原本的式子。
習題
解一元一次方程式$\frac{2x+1}{3}-\frac{x+1}{5}=2$。

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而小數型的方程式可以先將小數化為分數再利用分數型的解題模式進行。

例題$14$ 解方程式$0.2(x-4)+0.5(2x+1)=1.3$。

解 $0.2(x-4)+0.5(2x+1)=1.3$ $\Rightarrow \frac{2}{10}(x-4)+\frac{5}{10}(2x+1)=\frac{13}{10}$(直接化分數，不用約分，反正等一下乘了數字$10$就會都不見了) $\Rightarrow 2(x-4)+5(2x+1)=13$(同乘$10$) $\Rightarrow 2x-8+10x+5=13$(去括號) $\Rightarrow 12x-3=13$(整理左式) $\Rightarrow 12x=16$(移項法則，$-3$變$+3$) $\Rightarrow x=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$(移項法則，$\times 12$變$÷12$)

可能有些反應很快的同學有發現到：根本不用換成分數再乘以$10$，只要一開始乘以$10$就好了。
如果有一位小數與二位小數混合時，你就應該同乘以$100$，為了是讓二次小數變成整數。下面這個習題就讓同學們嘗試看看這樣的做法。
習題
解一元一次方程式$0.3(2-3x)+0.25(2x+1)=1.25$。

有些題目可能會使用分數型，但是分子分母出現小數……這時就先針對每個分數進行擴分，讓它變成正常分數型。

例題$15$ 解方程式$\frac{0.4}{0.16}+\frac{0.09x+0.27}{0.09}=\frac{1}{2}$。

解 $\frac{0.4}{0.16}+\frac{0.09x+0.27}{0.09}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{40}{16}+\frac{9x+27}{9}=\frac{1}{2}$(將前面兩個分數同乘$100$擴分) $\Rightarrow \frac{5}{2}+(x+3)=\frac{1}{2}$(化簡左式) $\Rightarrow \frac{5}{2}+x+3=\frac{1}{2}$(去括號) $\Rightarrow 5+2x+6=1$(同乘以$2$) $\Rightarrow 2x+11=1$(整理左式) $\Rightarrow 2x=-10$(移項法則，$+11$變$-11$) $\Rightarrow x=-5$(移項法則，$\times 2$變$÷2$)

注意是擴分，也就是分子分母同乘以一個數，這時分數的值與原本的相同，故在例題$15$之中$\frac{1}{2}$沒有同乘$100$變成$50$。