微积分学/极限审敛法

极限审敛法

判断敛散性的第一步是极限审敛法。

极限审敛法
若级数$S=\sum _n^{\mathrm{\infty }}{s}_n$满足$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n\ne 0$，则该级数一定发散。若极限为零，则需要进一步分析以确定级数敛散性。

例1

对以下级数运用极限审敛法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n+1}{n}$

解答：因为

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{n}=1$

极限不为零，所以级数发散。

例2

对以下级数运用极限审敛法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+5n+6}{3n^2+1}$

解答：因为

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+5n+6}{3n^2+1}=\frac{1}{3}$

极限不为零，所以级数发散。

例3

对以下级数运用极限审敛法

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+5n+6}{n^3}$

解答：因为

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+5n+6}{n^3}=0$

极限为零，所以需要进一步分析以确定级数敛散性。