微積分學/極限審斂法

極限審斂法

判斷斂散性的第一步是極限審斂法。

極限審斂法
若級數$S=\sum _{n}^{\infty }{s_{n}}$滿足$\lim _{n\rightarrow \infty }{s_{n}}\neq 0$，則該級數一定發散。若極限為零，則需要進一步分析以確定級數斂散性。

例1

對以下級數運用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}$

解答：因為

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+1}{n}}=1$

極限不為零，所以級數發散。

例2

對以下級數運用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}$

解答：因為

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{3n^{2}+1}}={\frac {1}{3}}$

極限不為零，所以級數發散。

例3

對以下級數運用極限審斂法

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}$

解答：因為

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{2}+5n+6}{n^{3}}}=0$

極限為零，所以需要進一步分析以確定級數斂散性。