动力气象学/大气运动基本方程组

运动方程

对于单位质量的气团，根据牛顿第二定律有

$\frac{d_{a} {\vec{V}}_{a}}{d t} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}$

其中 $d_{a}$ 表示绝对微分， ${\vec{V}}_{a}$ 为绝对速度， $\sum_{i} {\vec{F}}_{i}$ 为单位质量空气质点受到的真实力。上式在惯性坐标系中成立。

绝对加速度=相对加速度+牵连加速度

$\frac{d_{a} {\vec{V}}_{a}}{d t} = \frac{d \vec{V}}{d t} + \frac{d_{e} \vec{V}}{d t} = \frac{d \vec{V}}{d t} - Ω^{2} \vec{R} + 2 \vec{Ω} \times \vec{V} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}$

其中：牵连加速度=向心加速度+科氏加速度

$\frac{d_{e} \vec{V}}{d t} = - Ω^{2} \vec{R} + 2 Ω \land \vec{V} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}$

因此：

$\frac{d \vec{V}}{d t} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i} + Ω^{2} \vec{R} - 2 Ω \land \vec{V}$

连续方程

质量守恒定律应用于研究大气运动，其数学表达式称为连续方程。

拉格朗日观点

$\frac{d ρ}{d t} + ρ \nabla \cdot \vec{V} = 0$

其中：

$\frac{d ρ}{d t}$ ：气团密度随体变化率
$\nabla \cdot \vec{V} = \frac{1}{δ τ} \frac{d δ τ}{d \dot{τ}}$ ：气团体积的相对变化率

欧拉观点

$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ \vec{V}) = 0$

其中：

$\frac{\partial ρ}{\partial t}$ ：固定空间密度的局地变化率——单位时间单位空间体积（固定）内的质量变化
$\nabla \cdot (ρ \vec{V})$ ：单位时间单位空间体积内流体质量的流入流出量

状态方程

理想气体状态方程： $p = ρ R T$

热流量方程

根据热力学第一定律（能量守恒定律）：

$C_{V} \frac{d T}{d t} + P \frac{d α}{d t} = \dot{Q}$

即：单位质量气团外界加热率＝内能变化率＋气团膨胀反抗压力作功率

热流量方程的另外一种常用表达：

$p α = R T \to \frac{d}{d t} (P α) = \frac{d}{d t} (R T)$

$P \frac{d α}{d t} + α \frac{d P}{d t} = R \frac{d T}{d t}$

$(C_{V} + A R) \frac{d T}{d t} - α \frac{d P}{d t} = \dot{Q} \Rightarrow C_{p} \frac{d T}{d t} - α ω = \dot{Q}$

其中A为热功当量

至此，我们已经得到关于大气运动的四个独立方程，联立为闭合方程组：

${\begin{matrix} \frac{d \vec{V}}{d t} = \vec{g} - \frac{1}{ρ} \nabla p - 2 \vec{Ω} \land \vec{V} + \vec{F_{γ}} \\ \frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot (ρ \vec{V}) = 0 \\ p = ρ R T \\ C_{p} \frac{d T}{d t} - α ω = \dot{Q} \end{matrix}$