動力氣象學/大氣運動基本方程組

運動方程

對於單位質量的氣團，根據牛頓第二定律有

• ${\frac {d_{a}{\vec {V}}_{a}}{dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$

其中$d_{a}$表示絕對微分，${\vec {V}}_{a}$為絕對速度，$\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$為單位質量空氣質點受到的真實力。上式在慣性坐標系中成立。

絕對加速度=相對加速度+牽連加速度

• ${\frac {d_{a}{\vec {V}}_{a}}{dt}}={\frac {d{\vec {V}}}{dt}}+{\frac {d_{e}{\vec {V}}}{dt}}={\frac {d{\vec {V}}}{dt}}-\Omega ^{2}{\vec {R}}+2{\vec {\Omega }}\times {\vec {V}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$

其中：牽連加速度=向心加速度+科氏加速度

• ${\frac {d_{e}{\vec {V}}}{dt}}=-\Omega ^{2}{\vec {R}}+2\Omega \land {\vec {V}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}$

因此：

• ${\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}+\Omega ^{2}{\vec {R}}-2\Omega \land {\vec {V}}$

連續方程

質量守恆定律應用於研究大氣運動，其數學表達式稱為連續方程。

拉格朗日觀點

• ${\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot {\vec {V}}=0$

其中：

• ${\frac {d\rho }{dt}}$：氣團密度隨體變化率
• $\nabla \cdot {\vec {V}}={\frac {1}{\delta \tau }}{\frac {d\delta \tau }{d{\dot {\tau }}}}$：氣團體積的相對變化率

歐拉觀點

• ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {V}})=0$

其中：

• ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}$：固定空間密度的局地變化率——單位時間單位空間體積（固定）內的質量變化
• $\nabla \cdot (\rho {\vec {V}})$：單位時間單位空間體積內流體質量的流入流出量

狀態方程

理想氣體狀態方程：$p=\rho RT\,$

熱流量方程

根據熱力學第一定律（能量守恆定律）：

• $C_{V}{\frac {dT}{dt}}+P{\frac {d\alpha }{dt}}={\dot {Q}}$

即：單位質量氣團外界加熱率＝內能變化率＋氣團膨脹反抗壓力作功率

熱流量方程的另外一種常用表達：

• $p\alpha =RT\rightarrow {\frac {d}{dt}}(P\alpha )={\frac {d}{dt}}(RT)$

$P{\frac {d\alpha }{dt}}+\alpha {\frac {dP}{dt}}=R{\frac {dT}{dt}}$

$(C_{V}+AR){\frac {dT}{dt}}-\alpha {\frac {dP}{dt}}={\dot {Q}}\Rightarrow C_{p}{\frac {dT}{dt}}-\alpha \omega ={\dot {Q}}$

其中A為熱功當量

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至此，我們已經得到關於大氣運動的四個獨立方程，聯立為閉合方程組：

${\begin{cases}{\frac {d{\vec {V}}}{dt}}={\vec {g}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p-2{\vec {\Omega }}\land {\vec {V}}+{\vec {F_{\gamma }}}\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {V}})=0\\p=\rho RT\\C_{p}{\frac {dT}{dt}}-\alpha \omega ={\dot {Q}}\end{cases}}$