小学数学/六年级上册

1 分数乘法

算法

• 分数乘整数，分母不变，分子相乘。例：${\frac {2}{9}}\times 3={\frac {2\times 3}{9}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}$
• 分数乘分数，分母与分子各自相乘。例：${\frac {3}{5}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {3\times 1}{5\times 2}}={\frac {3}{10}}$
• 分数乘小数，可以将小数化成分数，也可以将分数化成小数，还可以将小数和分母约分。例：$2.4\times {\frac {3}{4}}\ =$
  • $2.4\times 0.75=1.8$
  • ${\frac {12}{5}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {9}{5}}$
  • $0.6\times 3=1.8$

能约分的要约分。

运算律

所有有关于整数乘法、小数乘法的运算律在分数乘法均适用。

2 位置与方向（二）

本章节没有任何内容。
您可以帮助我们加入信息。

3 分数除法

倒数

倒数：两个数相乘为$1$的数被称之为倒数。例：$3$和${\frac {1}{3}}$互为倒数。

$a$的倒数为${\frac {1}{a}}$，${\frac {a}{b}}$的倒数为${\frac {b}{a}}$。

需要注意的点

多于两个数的不能够互为倒数，例如${\frac {3}{2}},{\frac {2}{5}},{\frac {5}{7}},{\frac {7}{3}}$不互为倒数。

算法

根据$a\div b=a\times {\frac {1}{b}}$，将除法转化为乘法即可。

运算律

所有有关于整数除法、小数除法的运算律在分数除法均适用。

4 比

比的结构

$\quad a\quad :\quad b$
$\quad \ |\ \quad |\ \quad |$
 前项 比号 后项

化简比

按照分数的约分方式化简即可。前项作分子，后项作分母。书上的话：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

求比值

$a:b$的比值为$a\div b$。

5 圆

圆规的使用

生活中到处存在着圆。如何画出一个标准的圆？使用圆规。

把有针尖的一脚放在纸上，将展开的宽度设置为圆的半径，然后将有铅笔的一脚放在纸上，针尖的一脚不动，转一圈，圆就形成了。

圆的认识

• 用圆规画圆时，针尖所在的点叫圆心，一般用字母$O$表示。
• 连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，一般用字母$r$表示。圆的半径有无数条。
• 通过圆心且两端都在圆上面的线段叫直径，一般用字母$d$表示。如果有大小圆之分，则大圆直径为$R$，小圆直径为$r$圆的直径有无数条。在同一个圆内，$d=2r$。
• 圆的对称轴有无数条。
• 圆的位置是由圆心决定的，半径（直径）决定了圆的大小。

$\pi$

$\pi =C$_圆$\ \div \ d\thickapprox 3.1415926535$。读作“派”。在生活中，常取近似值$3.14$。在做题时，如果没说$\pi$取几，默认取$3.14$。

圆的周长

根据$\pi$的定义，可以得出：$C$_圆$\ =\pi d=2\pi r$。

圆的面积

将一个圆沿半径分成无数份，两两组合重新拼在一起（谁放个图），可得一个无限近似长方形的图形，其长$\ =\pi r$，宽$\ =r$，$S$_圆$\ =\pi r\times r=\pi r^{2}$。

圆环的面积

$S$_圆环$\ =S$_大圆$\ -S$_小圆$\ =\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi (R^{2}-r^{2})$。

若只给了环宽：$S$_圆环$\ =\ \pi [(r+$环宽$)^{2}\ -\ r^{2}]$

• $R$ - 大圆半径
• $r$ - 小圆半径

外方内圆，求面积差

$S$_面积差$\ =S$_正方形$\ -S$_圆形$\ =a^{2}-\pi r^{2}=(2r)^{2}-\pi r^{2}$。

外圆内方，求面积差

$S$_面积差$\ =S$_圆形$\ -S$_正方形$\ =\pi r^{2}-(2r)^{2}\div 2=\pi r^{2}-2r^{2}$。

弧

设有圆上两点$A,B$，圆心$O$，圆上两点间的部分叫做弧，读作“弧$AB$”。

圆心角

像$\angle AOB$这样，顶点在圆心的角叫做圆心角。

扇形

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

扇形的周长

$C$_扇形$\ =\ {\frac {\angle AOB}{360^{\circ }}}\pi d+d$

扇形的面积

$S$_扇形$\ =\ {\frac {\angle AOB}{360^{\circ }}}\pi r^{2}$

扇环

从圆环上以两条半径为界截取的部分叫做扇环。

扇环的面积

$S$_扇环$\ =\ {\frac {\angle AOB}{360^{\circ }}}\pi (R^{2}-r^{2})$

若只给了环宽：$S$_扇环$\ ={\frac {\angle AOB}{360^{\circ }}}\pi [(r+$环宽$)^{2}-r^{2}]$

其余考试会考的东西

大小圆周长差$\ =\ \pi (D-d)$ 长方形滚动求特定点移动距离$\ =\ {\frac {1}{4}}$不移动的点与特定点距离$^{2}\pi$

※ 确定起跑线

以下是一个操场上跑道的数据：

直道长度/m	第一条半圆形跑道直径/m	跑道宽/m
85.96	72.6	1.25

借此，可得：

跑道序号	1	2	3	4	5	6
直径/m	72.6	75.1	77.6	80.1	82.6	85.1
圆周长/m	228.079434	235.933409	243.787384	251.641359	259.495334	267.349309
跑道全长/m	399.999434	407.853409	415.707384	423.561309	431.415334	439.269309
与上一道长度之差/m	N/A	7.853975

保留两位小数：

跑道序号	1	2	3	4	5	6
直径/m	72.6	75.1	77.6	80.1	82.6	85.1
圆周长/m	228.08	235.93	243.79	251.64	259.50	267.35
跑道全长/m	400.00	407.85	415.71	423.56	431.42	439.27
与上一道长度之差/m	N/A	7.85

注：此处$\pi$取$3.14159$。

一些计算公式

注：此处取上面的值，在实际运用中请自行替换。$\pi$在做题目时仍然取$3.14$（除非题目另说）。

• 跑道长度（以第二道举例）

$=85.96\times 2+\left(72.6+1.25\times 2\right)\pi$

• 相邻两跑道之差（以最小两个举例）

$=\left(85.96\times 2+72.6\pi \right)-\left[85.96\times 2+(72.6+1.25\times 2)\pi \right]$

$=1.25\times 2\pi$