小學數學/六年級上冊

1 分數乘法

算法

分數乘整數，分母不變，分子相乘。例：${\frac {2}{9}}\times 3={\frac {2\times 3}{9}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}$

分數乘分數，分母與分子各自相乘。例：${\frac {3}{5}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {3\times 1}{5\times 2}}={\frac {3}{10}}$

分數乘小數，可以將小數化成分數，也可以將分數化成小數，還可以將小數和分母約分。例：$2.4\times {\frac {3}{4}}\ =$

• $2.4\times 0.75=1.8$
• ${\frac {12}{5}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {9}{5}}$
• $0.6\times 3=1.8$

能約分的要約分。

運算律

所有有關於整數乘法、小數乘法的運算律在分數乘法均適用。

2 位置與方向（二）

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3 分數除法

倒數

倒數：兩個數相乘為$1$的數被稱之為倒數。例：$3$和${\frac {1}{3}}$互為倒數。

$a$的倒數為${\frac {1}{a}}$，${\frac {a}{b}}$的倒數為${\frac {b}{a}}$。

需要注意的點

多於兩個數的不能夠互為倒數，例如${\frac {3}{2}},{\frac {2}{5}},{\frac {5}{7}},{\frac {7}{3}}$不互為倒數。

算法

根據$a\div b=a\times {\frac {1}{b}}$，將除法轉化為乘法即可。

運算律

所有有關於整數除法、小數除法的運算律在分數除法均適用。

4 比

比的結構

$\quad a\quad :\quad b$
$\quad \ |\ \quad |\ \quad |$
 前項 比號 後項

化簡比

按照分數的約分方式化簡即可。前項作分子，後項作分母。書上的話：比的前項和後項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。

求比值

$a:b$的比值為$a\div b$。

5 圓

圓規的使用

生活中到處存在着圓。如何畫出一個標準的圓？使用圓規。

把有針尖的一腳放在紙上，將展開的寬度設置為圓的半徑，然後將有鉛筆的一腳放在紙上，針尖的一腳不動，轉一圈，圓就形成了。

圓的認識

• 用圓規畫圓時，針尖所在的點叫圓心，一般用字母$O$表示。
• 連接圓心和圓上任意一點的線段叫半徑，一般用字母$r$表示。圓的半徑有無數條。
• 通過圓心且兩端都在圓上面的線段叫直徑，一般用字母$d$表示。如果有大小圓之分，則大圓直徑為$R$，小圓直徑為$r$圓的直徑有無數條。在同一個圓內，$d=2r$。
• 圓的對稱軸有無數條。
• 圓的位置是由圓心決定的，半徑（直徑）決定了圓的大小。

$\pi$

$\pi =C$_圓$\ \div \ d\thickapprox 3.1415926535$。讀作「派」。在生活中，常取近似值$3.14$。在做題時，如果沒說$\pi$取幾，默認取$3.14$。

圓的周長

根據$\pi$的定義，可以得出：$C$_圓$\ =\pi d=2\pi r$。

圓的面積

將一個圓沿半徑分成無數份，兩兩組合重新拼在一起（誰放個圖），可得一個無限近似長方形的圖形，其長$\ =\pi r$，寬$\ =r$，$S$_圓$\ =\pi r\times r=\pi r^{2}$。

圓環的面積

$S$_圓環$\ =S$_大圓$\ -S$_小圓$\ =\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi (R^{2}-r^{2})$。

若只給了環寬：$S$_圓環$\ =\ \pi [(r+$環寬$)^{2}\ -\ r^{2}]$

• $R$ - 大圓半徑
• $r$ - 小圓半徑

外方內圓，求面積差

$S$_面積差$\ =S$_正方形$\ -S$_圓形$\ =a^{2}-\pi r^{2}=(2r)^{2}-\pi r^{2}$。

外圓內方，求面積差

$S$_面積差$\ =S$_圓形$\ -S$_正方形$\ =\pi r^{2}-(2r)^{2}\div 2=\pi r^{2}-2r^{2}$。

弧

設有圓上兩點$A,B$，圓心$O$，圓上兩點間的部分叫做弧，讀作「弧$AB$」。

圓心角

像$\angle AOB$這樣，頂點在圓心的角叫做圓心角。

扇形

一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

扇形的周長

$C$_扇形$\ =\ {\frac {\angle AOB}{360^{\circ }}}\pi d+d$

扇形的面積

$S$_扇形$\ =\ {\frac {\angle AOB}{360^{\circ }}}\pi r^{2}$

扇環

從圓環上以兩條半徑為界截取的部分叫做扇環。

扇環的面積

$S$_扇環$\ =\ {\frac {\angle AOB}{360^{\circ }}}\pi (R^{2}-r^{2})$

若只給了環寬：$S$_扇環$\ ={\frac {\angle AOB}{360^{\circ }}}\pi [(r+$環寬$)^{2}-r^{2}]$

其餘考試會考的東西
大小圓周長差$\ =\ \pi (D-d)$ 長方形滾動求特定點移動距離$\ =\ {\frac {1}{4}}$不移動的點與特定點距離$^{2}\pi$

※ 確定起跑線

以下是一個操場上跑道的數據：

直道長度/m	第一條半圓形跑道直徑/m	跑道寬/m
85.96	72.6	1.25

藉此，可得：

跑道序號	1	2	3	4	5	6
直徑/m	72.6	75.1	77.6	80.1	82.6	85.1
圓周長/m	228.079434	235.933409	243.787384	251.641359	259.495334	267.349309
跑道全長/m	399.999434	407.853409	415.707384	423.561309	431.415334	439.269309
與上一道長度之差/m	N/A	7.853975

保留兩位小數：

跑道序號	1	2	3	4	5	6
直徑/m	72.6	75.1	77.6	80.1	82.6	85.1
圓周長/m	228.08	235.93	243.79	251.64	259.50	267.35
跑道全長/m	400.00	407.85	415.71	423.56	431.42	439.27
與上一道長度之差/m	N/A	7.85

註：此處$\pi$取$3.14159$。