微积分学/中值定理

本节内容基于《Calculus: a Complete Course (Second Custom Edition)》第5.2节（Mean Value Theorem）翻译而来。

中值定理（mean value theorem）联系函数的平均变化率与瞬时变化率（导数）。

定义

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内处处连续，且在开区间$(a,b)$内处处可导，则在$(a,b)$内至少有一点${\displaystyle }$使得

$\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$。

上述定义中的两条前提条件不可舍去，否则便会产生反例，如下所示。

存在不可导点时的反例

对函数$f(x)=|x|$，若令$a<0$且$b>0$，则必有

${\begin{aligned}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}&={\frac {b+a}{b-a}}\\&<{\frac {b}{b}}\\&=1\end{aligned}}$

与

${\begin{aligned}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}&={\frac {b+a}{b-a}}\\&=-{\frac {-a-b}{-a+b}}\\&>-{\frac {-a}{-a}}\\&=-1{\text{。}}\end{aligned}}$

然而，此函数在$\mathbb {R}$上的导函数却为

$f'(x)={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}$。

因此，相应的$c$值不存在。

存在不连续点时的反例

对函数$f(x)=\operatorname {sgn}(x)$，若令$a<0$且$b>0$，则必有

${\begin{aligned}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}&={\frac {2}{b-a}}\\&>0{\text{。}}\end{aligned}}$

然而，此函数在$\mathbb {R}$上的导函数却为

$f'(x)={\begin{cases}0&x<0\\0&x>0\end{cases}}$。

因此，相应的$c$值不存在。