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微积分学/中值定理

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本节内容基于《Calculus: a Complete Course (Second Custom Edition)》第5.2节(Mean Value Theorem)翻译而来。

中值定理(mean value theorem)联系函数的平均变化率与瞬时变化率(导数)。

定义[编辑]

若函数在闭区间处处连续,且在开区间处处可导,则在内至少有一点使得

上述定义中的两条前提条件不可舍去,否则便会产生反例,如下所示。

存在不可导点时的反例[编辑]

对函数,若令,则必有

然而,此函数在上的导函数却为

因此,相应的值不存在。

存在不连续点时的反例[编辑]

对函数,若令,则必有

然而,此函数在上的导函数却为

因此,相应的值不存在。