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微積分學/中值定理

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本節內容基於《Calculus: a Complete Course (Second Custom Edition)》第5.2節(Mean Value Theorem)翻譯而來。

中值定理(mean value theorem)聯繫函數的平均變化率與瞬時變化率(導數)。

定義[編輯]

若函數在閉區間處處連續,且在開區間處處可導,則在內至少有一點使得

上述定義中的兩條前提條件不可捨去,否則便會產生反例,如下所示。

存在不可導點時的反例[編輯]

對函數,若令,則必有

然而,此函數在上的導函數卻為

因此,相應的值不存在。

存在不連續點時的反例[編輯]

對函數,若令,則必有

然而,此函數在上的導函數卻為

因此,相應的值不存在。