算术

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算术

以下习题另有解答，但强烈建议先练习习题，才看解答校正错误，而不是先偷看解答。

普通算术

数的概念

• O → 1个O
• OO → 2个O
• OOO → 3个O
• OOOO → 4个O
• OOOOO → 5个O
• OOOOOO → 6个O
• OOOOOOO → 7个O
• OOOOOOOO → 8个O
• OOOOOOOOO → 9个O
• OOOOOOOOOO → 10个O

习题：

1. 以下的图形共有几个O？
   1. OOOOO → ？个O
   2. OOO → ？个O
   3. OOOOOOOO → ？个O
   4. O → ？个O
   5. OOOOOO → ？个O
2. 试画出指定个数的O：
   1. 4个O
   2. 2个O
   3. 7个O
   4. 10个O
   5. 9个O

数的大小关系

哪边的O比较多？

1. OOOOOOOO、OOOOO

2. OOOO、OOOOOOOOO

3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO

4. OOOOO、OOOOOO

假设有两个数字，若该数字代表的O比较多，则该数字比较大。

大于、小于符号分别以“$>$”、“$<$”表示，开口一边的数字比较大，若$A<B$则称A小于B，若$A>B$则称A大于B。

例子：

$OOOO>O$ → $4>1$ → 4大于1

$OO<OOOOO$ → $2<5$ → 2小于5

$OOOOOO>OOOO$ → $6>4$ → 6大于4

$OOOOOOO<OOOOOOOO$ → $7<8$ → 7小于8

加法

加法的符号是“$+$”，读作“加号”，加号前的数称为“被加数”，加号后的数是“加数”，等号后面的答案称为“和”，如下例题：

$1+1=2$

${\begin{aligned}{1}\\+{\underline {1}}\\{2}\end{aligned}}$

1是被加数，它被“加上”某个特定的数值1，也就是加数，得到和2。

习题：

1. $1+4=$?
2. $2+3=$?
3. $3+1=$?
4. $5+4=$?
5. $9+0=$?
6. $31+5=$?
7. $5+36=$?
8. $36+11=$?
9. $54+45=$?
10. $14+12=$?
11. $54+32=$?
12. $79+12=$?
13. $46+14=$?
14. $325+249=$?
15. $268+526=$?
16. $729+164=$?
17. $567+420=$?

减法

减法的符号是“$-$”，读作“减号”，减号前的数称为“被减数”，减号后的数是“减数”，等号后面的答案称为“差”，如例题：$36-11=25$

36是被减数，从这个数中被“减掉”11；导致别的数的数值减少的数就是减数（此例中的11）。36被11减，得到差25。

如果被减数小于减数，就会出现负数。如： $36-111=-75$

减法也是加法的逆算，若将减数加上差可得被减数，就拿上面的例子来说明：

$36-11=25$，其中36是被减数，11是减数，25是差。

${\begin{aligned}{36}\\{\underline {-11}}\\{25}\end{aligned}}$

将减数11加给25，即$25+11=36$得到原来的被减数。

习题：

1. $8-2=$?
2. $9-5=$?
3. $4-2=$?
4. $6-2=$?
5. $36-5=$?
6. $59-13=$?
7. $73-45=$?
8. $92-72=$?
9. $48-38=$?
10. $509-372=$?
11. $666-111=$?
12. $869-107=$?
13. $678-181=$?
14. $489-226=$?

乘法

乘法的符号是“$\times$”或“$\cdot$”，在电脑上常以“$*$”表示，读作“乘号”，乘号前的数称为“被乘数”，乘号后的数是“乘数”，等号后面的答案称为“积”，如例题：$7\times 9=63$。若乘数及被乘数是10或以下，那么我们便要依赖乘法表来计算。此外，也可于被乘数或乘数加上括号去代替乘号，如例题：$7(9)=63$。

附录的#乘法表，被乘数是1时，不必背诵。背诵其他九九乘法的积时，由简至难的被乘数顺序一般认为是2、5、4、8、3、6、9、7。

乘法的法则：

• 交换律：$x\cdot y=y\cdot x$
• 结合律：$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
• 分配律：$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
• $x\cdot 1=x$
• $x\cdot 0=0$

习题：

1. $9\times 9=$?
2. $4\times 3=$?
3. $2\times 7=$?
4. $7\times 8=$?
5. $3\times 9=$?
6. $36\times 11=$?
7. $65\times 45=$?
8. $12\times 12=$?
9. $85\times 74=$?
10. $31\times 70=$?
11. $69\times 45=$?
12. $67\times 54=$?

开方

开方是乘法的逆运算。

除法

除法的符号是“$\div$”，或以分线表示，在电脑上常以“$/$”表示，它们均读作“除号”，除号前的数称为“被除数”，除号后的数是“除数”，等号后面的答案称为“商”，如例题：$63\div 7=9$。若除数及被除数是10或以下，那么我们便要依赖乘法表来计算。另外，部分数被除后可能出现循环小数或无限小数，那么便需要转化成分数来表示（有关小数和分数的资料，将会在下章介绍）。
另外，除的意义为“将一份平均地分为多份”，因此所有数除以零是无效(meaningless)的。 除法可以解读成“重复的减法”。

例如 :$6\div {\color {Orange}3}=2$ ，就好像$6-{\color {Orange}3}-{\color {Orange}3}=0$，$6-{\color {Orange}3}=3,3-{\color {Orange}3}=0$，$6$被${\color {Orange}3}$减了两次就变成$0$

$36\div {\color {Orange}11}$ = ?

$36-{\color {Orange}11}=25$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=14$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=3$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=-8$，因值已经低于0了，不能采用！

$36$被${\color {Orange}11}$连减了3次，$36-11-11-11=3$就是馀数。所以$36\div 11$ = 3馀3

除法的法则：

• $x/1=x$
• $x/x=1$ ($x$≠$0$)
• $x/0$ = ∞，无穷大
• $0/0$ = 不定值
• $-x/0$ = 负无限

习题：

1. $9\div 3=$?
2. $4\div 1=$?
3. $7\div 7=$?
4. $8\div 4=$?
5. $5\div 5=$?
6. $64\div 8=$?
7. $72\div 9=$?
8. $24\div 6=$?
9. $56\div 8=$?
10. $168\div 4=$?
11. $750\div 5=$?
12. $627\div 3=$?
13. $50\div 3=$?

四则运算

所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括号$()$之内的部份要先计算，然后四则运算要先乘除后加减。

例题：$(36+5-1*5)*5/5+5$

上题为： $(36+5-1*5)*5/5+5$

$=(41-5)*5/5+5$

$=36\times 5\div 5+5$ 在此步看见$\times 5$与$\div 5$可以把他们相约 改写为$36+5=41$也称跳步

$=180/5+5$

$=36+5=41$

习题：

1. $(10+3)\times 5=$?
2. $6\times 6+5=$?
3. $4\times 6+39=$?
4. $396\div 11+11=$?
5. $36+[(36+5)\times 2-11\times 7]=$?

小数与分数

• 小数就是整数和整数之间的数。整数和小数之间会有一个点，称为“小数点”。例：3.5 ,4.5 ,8.45.
• 分数类似小数，表示方式是在两个数字之间加上一条线。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是占多少份。例:5/3

习题：

请分辨出分数和小数.

• 3.5
• 2/5
• 6.7
• 5/3
• 10/13
• 4.7

百分率

百分率亦类似小数，表示的方法是在一个数字后加上百分比符号"%"。100%亦等于1。百分率的用途有很多，包括：计算机率、表示数量等。例：35%, 48%.
注意："%"的意思是百分之一，并不是除以100。

附录一─速算技巧

自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 两数交叉型减法速解法：

• 例如：$63-36=(6-3)*9=27$ (由6和3所组成的算式，6用3去减，再乘以9)。
• 乘以11的数：
  • 两位数乘以11：$36\times 11$，速算法为将６、３两数之和$6+3=9$，插入36的中间，(如和超过10则进位)，即$36\times 11=396$。
  • 三位数乘以11：$536\times 11$，速算法为将$3+5$、$6+3$插入5、6的中间，即$536\times 11=5896$。
  • 四位数乘以11：$3636\times 11$，速算法为将$3636$拆成$3600+36$，再用$11$去乘它们，又$3600\times 11=39600$，$36\times 11=396$，故$3636\times 11=39996$。
    • $1173\times 11$，速算法为将$1173$拆成$1100+73$，再用$11$去乘它们，又$1100\times 11=12100$，$73\times 11=803$，故$1173\times 11=12903$。
• 两位数乘以111：$36\times 111$，速算法为将６、３两数之和$6+3=9$，加两次，插入36的中间，(如和超过10则进位)，即$36\times 111=3996$。
• 三位数乘以111：$536\times 111$，速算法为将$536$拆成$500+36$，再用$111$去乘它们，又$500\times 111=55500$，$36\times 111=3996$，故$536\times 111=59496$。
  • 两位数乘以121：$36\times 121$，速算法为将$36\times 121$拆为$36\times 11\times 11=396\times 11=4356$。

乘法公式

“乘法公式”是让我们将繁复的计算变得比较容易计算。

1. 分配率：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
2. 和平方：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
3. 三数和平方：$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$
4. 差平方：$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$
5. 平方差：$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!$
6. 和立方：$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$
7. 差立方：$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$
8. 立方和：$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
9. 立方差：$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$
10. $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!$
11. $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

特殊公式

• $1^{2}+1=2^{2}-2$
• $2^{2}+2=3^{2}-3$
• $3^{2}+3=4^{2}-4$
• $4^{2}+4=5^{2}-5$
• $99^{2}+99=100^{2}-100$

已知$1134^{2}+1134+2270+1136+121+(24200+792)=a^{2}\quad (a>0)$，求a的值。

解答：
${\begin{array}{l}a^{2}&=1135^{2}-1135+2270+1136+121+(2200+72)\times 11\\&=1135^{2}+2270+1+121+2272\times 11\\&=(1135+1)^{2}+121+2272\times 11\\&=1136^{2}+11^{2}+2272\times 11\\&=(1136+11)^{2}=1147^{2}\\\Rightarrow &a=1147\end{array}}$

除以7

7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看：

$1\div 7=0.142857142857...$

$2\div 7=0.285714285714...$

$3\div 7=0.428571428571...$

$4\div 7=0.571428571428...$

$5\div 7=0.714285714285...$

$6\div 7=0.857142857142...$

看出规律来了没有？$1\div 7=0.14,28,57$，后面的数刚好是前面的两倍，$28\times 2=56$，而$56\times 2$刚好进一位就成57了。而后面$2\div 7$，$3\div 7$，$4\div 7$，$5\div 7$，$6\div 7$正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。
在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而$22.4=3.2\times 7$，$3.2\times 10=32=2^{5}$，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。

附录二─各种表格

加法表

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

乘法表

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

对数表

常用对数表

log	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0000	0043	0086	0128	0170	0212	0253	0294	0334	0374
11	0414	0453	0492	0531	0569	0607	0645	0682	0719	0755
12	0792	0828	0864	0899	0934	0969	1004	1038	1072	1106
13	1139	1173	1206	1239	1271	1303	1335	1367	1399	1430
14	1461	1492	1523	1553	1584	1614	1644	1673	1703	1732
15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931	1959	1987	2014
16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227	2253	2279
17	2304	2330	2355	2380	2405	2430	2455	2480	2504	2529
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718	2742	2765
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900	2923	2945	2967	2989
20	3010	3032	3054	3075	3096	3118	3139	3160	3181	3201
21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962
25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4561	4579	4594	4609
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900

自然对数表

ln
1	0
2	0.693147180559945
3	1.09861228866811
4	1.386294361119891
5	1.6094379124341
6	1.791759469228055
7	1.945910149055313
8	2.079441541679836
9	2.19722457733622
10	2.302585092994046
11	2.397895272798371
12	2.484906649788
13	2.564949357461537
14	2.639057329615258
15	2.70805020110221