算术

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以下习题另有解答，但强烈建议先练习习题，才看解答校正错误，而不是先偷看解答。

普通算术[编辑]

数的概念[编辑]

O → 1个O
OO → 2个O
OOO → 3个O
OOOO → 4个O
OOOOO → 5个O
OOOOOO → 6个O
OOOOOOO → 7个O
OOOOOOOO → 8个O
OOOOOOOOO → 9个O
OOOOOOOOOO → 10个O

习题：

以下的图形共有几个O？
1. OOOOO → ？个O
2. OOO → ？个O
3. OOOOOOOO → ？个O
4. O → ？个O
5. OOOOOO → ？个O
试画出指定个数的O：
1. 4个O
2. 2个O
3. 7个O
4. 10个O
5. 9个O

数的大小关系[编辑]

哪边的O比较多？

1. OOOOOOOO、OOOOO

2. OOOO、OOOOOOOOO

3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO

4. OOOOO、OOOOOO

假设有两个数字，若该数字代表的O比较多，则该数字比较大。

大于、小于符号分别以“ $>$ ”、“ $<$ ”表示，开口一边的数字比较大，若 $A<B$ 则称A小于B，若 $A>B$ 则称A大于B。

例子：

$OOOO>O$ → $4>1$ → 4大于1

$OO<OOOOO$ → $2<5$ → 2小于5

$OOOOOO>OOOO$ → $6>4$ → 6大于4

$OOOOOOO<OOOOOOOO$ → $7<8$ → 7小于8

加法[编辑]

加法的符号是“ $+$ ”，读作“加号”，加号前的数称为“被加数”，加号后的数是“加数”，等号后面的答案称为“和”，如下例题：

$1+1=2$

1是被加数，它被“加上”某个特定的数值1，也就是加数，得到和2。

习题：

$1+4=$ ?
$2+3=$ ?
$3+1=$ ?
$5+4=$ ?
$9+0=$ ?
$31+5=$ ?
$5+36=$ ?
$36+11=$ ?
$54+45=$ ?
$14+12=$ ?
$54+32=$ ?
$79+12=$ ?
$46+14=$ ?
$325+249=$ ?
$268+526=$ ?
$729+164=$ ?
$567+420=$ ?

减法[编辑]

减法的符号是“ $-$ ”，读作“减号”，减号前的数称为“被减数”，减号后的数是“减数”，等号后面的答案称为“差”，如例题： $36-11=25$

36是被减数，被11从身上“减掉”（36被11减），侵犯他人者，也就是减数，得到差25。

减法也是加法的逆算，若将减数加上差可得被减数，就拿上面的例子来说明：

$36-11=25$ ，其中36是被减数，11是减数，25是差。将 $25+11$ 得到和36。

习题：

$8-2=$ ?
$9-5=$ ?
$4-2=$ ?
$6-2=$ ?
$36-5=$ ?
$59-13=$ ?
$73-45=$ ?
$92-72=$ ?
$48-38=$ ?
$509-372=$ ?
$666-111=$ ?
$869-107=$ ?
$678-181=$ ?
$489-226=$ ?

乘法[编辑]

乘法的符号是“ $\times$ ”或“ $\cdot$ ”，在电脑上常以“ $*$ ”表示，读作“乘号”，乘号前的数称为“被乘数”，乘号后的数是“乘数”，等号后面的答案称为“积”，如例题： $7\times 9=63$ 。若乘数及被乘数是10或以下，那么我们便要依赖乘法表来计算。此外，也可于被乘数或乘数加上括号去代替乘号，如例题： $7(9)=63$ 。

附录的#乘法表，被乘数是1时，不必背诵。背诵其他九九乘法的积时，由简至难的被乘数顺序一般认为是2、5、4、8、3、6、9、7。

乘法的法则：

交换律： $x\cdot y=y\cdot x$
结合律： $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
分配律： $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$x\cdot 1=x$
$x\cdot 0=0$

习题：

$9\times 9=$ ?
$4\times 3=$ ?
$2\times 7=$ ?
$7\times 8=$ ?
$3\times 9=$ ?
$36\times 11=$ ?
$65\times 45=$ ?
$12\times 12=$ ?
$85\times 74=$ ?
$31\times 70=$ ?
$69\times 45=$ ?
$67\times 54=$ ?

开方[编辑]

开方是乘法的逆运算开方

除法[编辑]

除法的符号是“ $\div$ ”，或以分线表示，在电脑上常以“ $/$ ”表示，它们均读作“除号”，除号前的数称为“被除数”，除号后的数是“除数”，等号后面的答案称为“商”，如例题： $63\div 7=9$ 。若除数及被除数是10或以下，那么我们便要依赖乘法表来计算。另外，部分数被除后可能出现循环小数或无限小数，那么便需要转化成分数来表示（有关小数和分数的资料，将会在下章介绍）。
另外，除的意义为“将一份平均地分为多份”，因此所有数除以零是无效(meaningless)的。除法可以解读成“重复的减法”。

例如 : $6\div {\color {Orange}3}=2$ ，就好像 $6-{\color {Orange}3}-{\color {Orange}3}=0$ ， $6-{\color {Orange}3}=3,3-{\color {Orange}3}=0$ ， $6$ 被 ${\color {Orange}3}$ 减了两次就变成 $0$

除法的法则：

$x/1=x$
$x/x=1$ ( $x$ ≠ $0$ )
$x/0$ = ∞，无穷大
$0/0$ = 不定值
$-x/0$ = 负无限

习题：

$9\div 3=$ ?
$4\div 1=$ ?
$7\div 7=$ ?
$8\div 4=$ ?
$5\div 5=$ ?
$64\div 8=$ ?
$72\div 9=$ ?
$24\div 6=$ ?
$56\div 8=$ ?
$168\div 4=$ ?
$750\div 5=$ ?
$627\div 3=$ ?
$50\div 3=$ ?

四则运算[编辑]

括号 $()$ 之内的部份要先计算，然后四则运算要先乘除后加减。

习题：

$(10+3)\times 5=$ ?
$6\times 6+5=$ ?
$4\times 6+39=$ ?
$396\div 11+11=$ ?
$36+[(36+5)\times 2-11\times 7]=$ ?

小数与分数[编辑]

小数就是整数和整数之间的数。整数和小数之间会有一个点，称为“小数点”。例：3.5 ,4.5 ,8.45.
分数类似小数，表示方式是在两个数字之间加上一条线。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是占多少份。例:5/3

习题：

请分辨出分数和小数.

3.5
2/5
6.7
5/3
10/13
4.7

百分率[编辑]

百分率亦类似小数，表示的方法是在一个数字后加上百分比符号"%"。100%亦等于1。百分率的用途有很多，包括：计算机率、表示数量等。例：35%, 48%.
注意："%"的意思是百分之一，并不是除以100。

附录一─速算技巧[编辑]

自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。两数交叉型减法速解法：

例如： $63-36=(6-3)*9=27$ (由6和3所组成的算式，6用3去减，再乘以9)。
乘以11的数：
- 两位数乘以11： $36\times 11$ ，速算法为将６、３两数之和 $6+3=9$ ，插入36的中间，(如和超过10则进位)，即 $36\times 11=396$ 。
- 三位数乘以11： $536\times 11$ ，速算法为将 $3+5$ 、 $6+3$ 插入5、6的中间，即 $536\times 11=5896$ 。
- 四位数乘以11： $3636\times 11$ $3636\times 11$ ，速算法为将 $3636$ $3636$ 拆成 $3600+36$ $3600+36$ ，再用 $11$ $11$ 去乘它们，又 $3600\times 11=39600$ $3600\times 11=39600$ ， $36\times 11=396$ $36\times 11=396$ ，故 $3636\times 11=39996$ $3636\times 11=39996$ 。
  - $1173\times 11$ ，速算法为将 $1173$ 拆成 $1100+73$ ，再用 $11$ 去乘它们，又 $1100\times 11=12100$ ， $73\times 11=803$ ，故 $1173\times 11=12903$ 。
两位数乘以111： $36\times 111$ ，速算法为将６、３两数之和 $6+3=9$ ，加两次，插入36的中间，(如和超过10则进位)，即 $36\times 111=3996$ 。
三位数乘以111： $536\times 111$ $536\times 111$ ，速算法为将 $536$ $536$ 拆成 $500+36$ $500+36$ ，再用 $111$ $111$ 去乘它们，又 $500\times 111=55500$ $500\times 111=55500$ ， $36\times 111=3996$ $36\times 111=3996$ ，故 $536\times 111=59496$ $536\times 111=59496$ 。
- 两位数乘以121： $36\times 121$ ，速算法为将 $36\times 121$ 拆为 $36\times 11\times 11=396\times 11=4356$ 。

乘法公式[编辑]

“乘法公式”是让我们将繁复的计算变得比较容易计算。

分配率： $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
和平方： $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
三数和平方： $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$
差平方： $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$
平方差： $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!$
和立方： $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$
差立方： $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$
立方和： $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
立方差： $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!$
$a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

特殊公式[编辑]

$1^{2}+1=2^{2}-2$
$2^{2}+2=3^{2}-3$
$3^{2}+3=4^{2}-4$
$4^{2}+4=5^{2}-5$
$99^{2}+99=100^{2}-100$

$1134^{2}+1134+2270+1136+121-(24200+792)=a^{2}$ , 求a值。

$1135^{2}-1135+2270+1136+121-(2200+72)\times 11$
$=1135^{2}+2270+1+121-2272\times 11$
$=(1135+1)^{2}+121-2272\times 11$
$=1136^{2}+11^{2}-2272\times 11$
$=(1136-11)^{2}$
$a=1136-11=1125$

除以7[编辑]

7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看：

$1\div 7=0.142857142857...$

$2\div 7=0.285714285714...$

$3\div 7=0.428571428571...$

$4\div 7=0.571428571428...$

$5\div 7=0.714285714285...$

$6\div 7=0.857142857142...$

看出规律来了没有？ $1\div 7=0.14,28,57$ ，后面的数刚好是前面的两倍， $28\times 2=56$ ，而 $56\times 2$ 刚好进一位就成57了。而后面 $2\div 7$ ， $3\div 7$ ， $4\div 7$ ， $5\div 7$ ， $6\div 7$ 正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。
在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而 $22.4=3.2\times 7$ ， $3.2\times 10=32=2^{5}$ ，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。

附录二─各种表格[编辑]

加法表[编辑]

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

乘法表[编辑]

对数表[编辑]

常用对数表[编辑]

自然对数表[编辑]

ln1.52=?

附录三─自然数的严格定义[编辑]

Peano公理[编辑]

习题[编辑]

-->

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

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