# 算術

## 普通算術

### 數的概念

• O → 1個O
• OO → 2個O
• OOO → 3個O
• OOOO → 4個O
• OOOOO → 5個O
• OOOOOO → 6個O
• OOOOOOO → 7個O
• OOOOOOOO → 8個O
• OOOOOOOOO → 9個O
• OOOOOOOOOO → 10個O

1. 以下的圖形共有幾個O？
1. OOOOO → ？個O
2. OOO → ？個O
3. OOOOOOOO → ？個O
4. O → ？個O
5. OOOOOO → ？個O
2. 試畫出指定個數的O：
1. 4個O
2. 2個O
3. 7個O
4. 10個O
5. 9個O

### 數的大小關係

1. OOOOOOOO、OOOOO

2. OOOO、OOOOOOOOO

3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO

4. OOOOO、OOOOOO

${\displaystyle OOOO>O}$${\displaystyle 4>1}$ → 4大於1

${\displaystyle OO${\displaystyle 2<5}$ → 2小於5

${\displaystyle OOOOOO>OOOO}$${\displaystyle 6>4}$ → 6大於4

${\displaystyle OOOOOOO${\displaystyle 7<8}$ → 7小於8

### 加法

${\displaystyle 1+1=2}$

{\displaystyle {\begin{aligned}{1}\\+{\underline {1}}\\{2}\end{aligned}}}

1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。

1. ${\displaystyle 1+4=}$?
2. ${\displaystyle 2+3=}$?
3. ${\displaystyle 3+1=}$?
4. ${\displaystyle 5+4=}$?
5. ${\displaystyle 9+0=}$?
6. ${\displaystyle 31+5=}$?
7. ${\displaystyle 5+36=}$?
8. ${\displaystyle 36+11=}$?
9. ${\displaystyle 54+45=}$?
10. ${\displaystyle 14+12=}$?
11. ${\displaystyle 54+32=}$?
12. ${\displaystyle 79+12=}$?
13. ${\displaystyle 46+14=}$?
14. ${\displaystyle 325+249=}$?
15. ${\displaystyle 268+526=}$?
16. ${\displaystyle 729+164=}$?
17. ${\displaystyle 567+420=}$?

### 減法

36是被減數，從這個數中被「減掉」11；導致別的數的數值減少的數就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。

${\displaystyle 36-11=25}$，其中36是被減數，11是減數，25是差。

{\displaystyle {\begin{aligned}{36}\\{\underline {-11}}\\{25}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{4}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{64}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{164}\end{aligned}}}

1. ${\displaystyle 8-2=}$?
2. ${\displaystyle 9-5=}$?
3. ${\displaystyle 4-2=}$?
4. ${\displaystyle 6-2=}$?
5. ${\displaystyle 36-5=}$?
6. ${\displaystyle 59-13=}$?
7. ${\displaystyle 73-45=}$?
8. ${\displaystyle 92-72=}$?
9. ${\displaystyle 48-38=}$?
10. ${\displaystyle 509-372=}$?
11. ${\displaystyle 666-111=}$?
12. ${\displaystyle 869-107=}$?
13. ${\displaystyle 678-181=}$?
14. ${\displaystyle 489-226=}$?

### 乘法

• 交換律：${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
• 結合律：${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
• 分配律：${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$
• ${\displaystyle x\cdot 1=x}$
• ${\displaystyle x\cdot 0=0}$

1. ${\displaystyle 9\times 9=}$?
2. ${\displaystyle 4\times 3=}$?
3. ${\displaystyle 2\times 7=}$?
4. ${\displaystyle 7\times 8=}$?
5. ${\displaystyle 3\times 9=}$?
6. ${\displaystyle 36\times 11=}$?
7. ${\displaystyle 65\times 45=}$?
8. ${\displaystyle 12\times 12=}$?
9. ${\displaystyle 85\times 74=}$?
10. ${\displaystyle 31\times 70=}$?
11. ${\displaystyle 69\times 45=}$?
12. ${\displaystyle 67\times 54=}$?

### 除法

${\displaystyle 36\div {\color {Orange}11}}$ = ?

${\displaystyle 36-{\color {Orange}11}=25}$

${\displaystyle 36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=14}$

${\displaystyle 36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=3}$

${\displaystyle 36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=-8}$，因值已經低於0了，不能採用！

${\displaystyle 36}$${\displaystyle {\color {Orange}11}}$連減了3次，${\displaystyle 36-11-11-11=3}$就是餘數。所以${\displaystyle 36\div 11}$ = 3餘3

• ${\displaystyle x/1=x}$
• ${\displaystyle x/x=1}$ (${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$)
• ${\displaystyle x/0}$ = ∞，無窮大
• ${\displaystyle 0/0}$ = 不定值
• ${\displaystyle -x/0}$ = 負無限

1. ${\displaystyle 9\div 3=}$?
2. ${\displaystyle 4\div 1=}$?
3. ${\displaystyle 7\div 7=}$?
4. ${\displaystyle 8\div 4=}$?
5. ${\displaystyle 5\div 5=}$?
6. ${\displaystyle 64\div 8=}$?
7. ${\displaystyle 72\div 9=}$?
8. ${\displaystyle 24\div 6=}$?
9. ${\displaystyle 56\div 8=}$?
10. ${\displaystyle 168\div 4=}$?
11. ${\displaystyle 750\div 5=}$?
12. ${\displaystyle 627\div 3=}$?
13. ${\displaystyle 50\div 3=}$?

### 乘方

${\displaystyle b^{n}}$等同於${\displaystyle b}$自乘 ${\displaystyle n}$次，即${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}$

### 四則運算

${\displaystyle =(41-5)*5/5+5}$

${\displaystyle =36\times 5\div 5+5}$ 在此步看見${\displaystyle \times 5}$${\displaystyle \div 5}$可以把他們相約 改寫為${\displaystyle 36+5=41}$也稱跳步

${\displaystyle =180/5+5}$

${\displaystyle =36+5=41}$

1. ${\displaystyle (10+3)\times 5=}$?
2. ${\displaystyle 6\times 6+5=}$?
3. ${\displaystyle 4\times 6+39=}$?
4. ${\displaystyle 396\div 11+11=}$?
5. ${\displaystyle 36+[(36+5)\times 2-11\times 7]=}$?

### 小數與分數

• 小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45.
• 分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3

• 3.5
• 2/5
• 6.7
• 5/3
• 10/13
• 4.7

## 附錄一：速算技巧

### 減法速算

• 兩數交叉型減法速解法：
• 例如：${\displaystyle 63-36=(6-3)*9=27}$（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。
• 10的n次方減某數：
• ${\displaystyle 10000-1173}$，速算法為將${\displaystyle 10^{n}}$視為${\displaystyle 9\times 10^{n-1}+9\times 10^{n-2}+9\times 10^{n-3}+...+9\times 10^{2}+10}$，並分拆各數位${\displaystyle 10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)}$，然後各數位相減${\displaystyle (9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)}$，得出最終結果${\displaystyle (9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827}$

### 乘法速算

• 乘以5的數：
• 數字乘以5：${\displaystyle 36\times 5}$，速算法為將36乘以10${\displaystyle 36\times 10=360}$，再將結果除以2${\displaystyle 360\div 2=180}$
• 乘以11的數：
• 兩位數乘以11：${\displaystyle 36\times 11}$，速算法為將６、３兩數之和${\displaystyle 6+3=9}$，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即${\displaystyle 36\times 11=396}$
• 三位數乘以11：${\displaystyle 536\times 11}$，速算法為將${\displaystyle 3+5}$${\displaystyle 6+3}$插入5、6的中間，即${\displaystyle 536\times 11=5896}$
• 四位數乘以11：${\displaystyle 3636\times 11}$，速算法為將${\displaystyle 3636}$拆成${\displaystyle 3600+36}$，再用${\displaystyle 11}$去乘它們，又${\displaystyle 3600\times 11=39600}$${\displaystyle 36\times 11=396}$，故${\displaystyle 3636\times 11=39996}$
• ${\displaystyle 1173\times 11}$，速算法為將${\displaystyle 1173}$拆成${\displaystyle 1100+73}$，再用${\displaystyle 11}$去乘它們，又${\displaystyle 1100\times 11=12100}$${\displaystyle 73\times 11=803}$，故${\displaystyle 1173\times 11=12903}$
• 乘以111的數：
• 兩位數乘以111：${\displaystyle 36\times 111}$，速算法為將６、３兩數之和${\displaystyle 6+3=9}$，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即${\displaystyle 36\times 111=3996}$
• 三位數乘以111：${\displaystyle 536\times 111}$，速算法為將${\displaystyle 536}$拆成${\displaystyle 500+36}$，再用${\displaystyle 111}$去乘它們，又${\displaystyle 500\times 111=55500}$${\displaystyle 36\times 111=3996}$，故${\displaystyle 536\times 111=59496}$
• 兩位數乘以121：${\displaystyle 36\times 121}$，速算法為將${\displaystyle 36\times 121}$拆為${\displaystyle 36\times 11\times 11=396\times 11=4356}$

#### 格子乘法

• ${\displaystyle 4=4}$，將4寫在斜線對齊的格子圖下邊。
• ${\displaystyle 8+2+5=15}$，將和的個位數「5」寫在斜線對齊的格子下邊，十位數進位到下一位斜線中如圖
• ${\displaystyle 6+5+1+(1)=13}$，將和的個位數寫在斜線對齊的格子邊上（左邊），將十位數進位。
• ${\displaystyle 1+(1)=2}$，記入格子左邊
• ${\displaystyle 1=1}$

### 除法速算

• 除以5的數：
• 數字除以5：${\displaystyle 36\div 5}$，速算法為將36除以10${\displaystyle 36\div 10=3.6}$，再將結果乘以2${\displaystyle 3.6\times 2=7.2}$
• 除以11的數：
• 數字除以11：${\displaystyle 12892\div 11}$，速算法為從左側依序刪除數字，並記錄刪除的數字，然後再在下一個數位減去刪除的數字。
1. ${\displaystyle 12892}$從左側刪除一位數字之後為${\displaystyle 2892}$，記錄${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2892-1000=1892}$
2. ${\displaystyle 1892}$從左側刪除一位數字之後為${\displaystyle 892}$，記錄${\displaystyle 1}$${\displaystyle 892-100=792}$
3. ${\displaystyle 792}$從左側刪除一位數字之後為${\displaystyle 92}$，記錄${\displaystyle 7}$${\displaystyle 92-70=22}$
4. ${\displaystyle 22}$從左側刪除一位數字之後為${\displaystyle 2}$，記錄${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2-2=0}$
5. 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字：${\displaystyle 1172}$
• 下方為遇到特殊情況時的處理方式：${\displaystyle 2134\div 11}$
1. ${\displaystyle 2134}$從左側刪除一位數字之後為${\displaystyle 134}$，記錄${\displaystyle 2}$
2. ${\displaystyle 134-200}$的結果為負數：此時將將原先記錄的數字減1，改記錄${\displaystyle 2-1=1}$；然後將減數的首數位減一，並在被減數的首數位前添加數位1，得${\displaystyle 1134-100=1034}$
3. 但此時結果的前兩位數字為${\displaystyle 10}$，無法進行下一步行動，否則會陷入死循環。此時應該將${\displaystyle 10}$視為一個獨立的數位整體，然後執行下一步行動。
4. ${\displaystyle 1034}$從左側刪除（技術上的）一位數字之後為${\displaystyle 34}$，記錄${\displaystyle 10}$${\displaystyle 34-100}$的結果為負數。
5. 此時將原先記錄的數字減1，改記錄${\displaystyle 10-1=9}$。然後將減數的（技術上的）首數位減一，並在被減數的首數位前添加數位1，得${\displaystyle 134-90=44}$
6. ${\displaystyle 44}$從左側刪除一位數字之後為${\displaystyle 4}$，記錄${\displaystyle 4}$${\displaystyle 4-4=0}$
7. 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字：${\displaystyle 194}$

#### 除以7

7是很特殊的數字，而求除以7的小數值往往令人頭疼。其實除以7的計算中蘊藏着非常簡單的規律。請看：

${\displaystyle 1\div 7=0.142857142857...}$

${\displaystyle 2\div 7=0.285714285714...}$

${\displaystyle 3\div 7=0.428571428571...}$

${\displaystyle 4\div 7=0.571428571428...}$

${\displaystyle 5\div 7=0.714285714285...}$

${\displaystyle 6\div 7=0.857142857142...}$

### 乘方速算

• 10至19的乘方：
• ${\displaystyle (10+a)^{2}=10\times (10+a)+10a+a^{2}}$
• 20至99的乘方：
• 同前式，但須將20至99之間的數取近似值至十位，並將原式中的10替換成此數。

### 公式

1. 分配率：${\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!}$
2. 和平方：${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}$
3. 三數和平方：${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!}$
4. 差平方：${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!}$
5. 平方差：${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!}$
6. 和立方：${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!}$
7. 差立方：${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!}$
8. 立方和${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$
9. 立方差${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}$
10. ${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!}$
11. ${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$

#### 特殊公式

• ${\displaystyle 1^{2}+1=2^{2}-2}$
• ${\displaystyle 2^{2}+2=3^{2}-3}$
• ${\displaystyle 3^{2}+3=4^{2}-4}$
• ${\displaystyle 4^{2}+4=5^{2}-5}$
• ${\displaystyle 99^{2}+99=100^{2}-100}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}a^{2}&=1135^{2}-1135+2270+1136+121+(2200+72)\times 11\\&=1135^{2}+2270+1+121+2272\times 11\\&=(1135+1)^{2}+121+2272\times 11\\&=1136^{2}+11^{2}+2272\times 11\\&=(1136+11)^{2}=1147^{2}\\\Rightarrow &a=1147\end{array}}}$

## 附錄二：各種表格

### 加法表

 ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9

### 乘法表

 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 2 4 3 3 6 9 4 4 8 12 16 5 5 10 15 20 25 6 6 12 18 24 30 36 7 7 14 21 28 35 42 49 8 8 16 24 32 40 48 56 64 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 1 2 3 4 5 6 7 8 9

### 乘方表

 ^ 2 3 1 1 1 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 729

### 對數表

#### 常用對數表

 log 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4561 4579 4594 4609 29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

#### 自然對數表

 1 0 2 0.693147 3 1.09861 4 1.38629 5 1.60944 6 1.79176 7 1.94591 8 2.07944 9 2.19722 10 2.30259 11 2.3979 12 2.48491 13 2.56495 14 2.63906 15 2.70805