算術

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算術

以下習題另有解答，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。

普通算術

數的概念

• O → 1個O
• OO → 2個O
• OOO → 3個O
• OOOO → 4個O
• OOOOO → 5個O
• OOOOOO → 6個O
• OOOOOOO → 7個O
• OOOOOOOO → 8個O
• OOOOOOOOO → 9個O
• OOOOOOOOOO → 10個O

習題：

1. 以下的圖形共有幾個O？
   1. OOOOO → ？個O
   2. OOO → ？個O
   3. OOOOOOOO → ？個O
   4. O → ？個O
   5. OOOOOO → ？個O
2. 試畫出指定個數的O：
   1. 4個O
   2. 2個O
   3. 7個O
   4. 10個O
   5. 9個O

數的大小關係

哪邊的O比較多？

1. OOOOOOOO、OOOOO

2. OOOO、OOOOOOOOO

3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO

4. OOOOO、OOOOOO

假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。

大於、小於符號分別以「$>$」、「$<$」表示，開口一邊的數字比較大，若$A<B$則稱A小於B，若$A>B$則稱A大於B。

例子：

$OOOO>O$ → $4>1$ → 4大於1

$OO<OOOOO$ → $2<5$ → 2小於5

$OOOOOO>OOOO$ → $6>4$ → 6大於4

$OOOOOOO<OOOOOOOO$ → $7<8$ → 7小於8

加法

加法的符號是「$+$」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題：

$1+1=2$

${\begin{aligned}{1}\\+{\underline {1}}\\{2}\end{aligned}}$

1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。

習題：

1. $1+4=$?
2. $2+3=$?
3. $3+1=$?
4. $5+4=$?
5. $9+0=$?
6. $31+5=$?
7. $5+36=$?
8. $36+11=$?
9. $54+45=$?
10. $14+12=$?
11. $54+32=$?
12. $79+12=$?
13. $46+14=$?
14. $325+249=$?
15. $268+526=$?
16. $729+164=$?
17. $567+420=$?

減法

減法的符號是「$-$」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：$36-11=25$

36是被減數，從這個數中被「減掉」11；導致別的數的數值減少的數就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。

如果被減數小於減數，就會出現負數。如： $36-111=-75$

減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明：

$36-11=25$，其中36是被減數，11是減數，25是差。

${\begin{aligned}{36}\\{\underline {-11}}\\{25}\end{aligned}}$

將減數11加給25，即$25+11=36$得到原來的被減數。

另外以下是退位減法的計算方式：

例如：238－74＝？

我們可列豎式計算：

${\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{}\end{aligned}}$

先計算個位數的部份：8－4＝4

所以個位數先寫上4。

${\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{4}\end{aligned}}$

十位數不夠減，可以向百位數拿個1過來，變成13－7，運用口訣－7＝－10＋3，13－10＋3＝6，所以十位數先寫上6。

${\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{64}\end{aligned}}$

因為我們已經從百位數的2拿1走了，所以百位數剩下1。

${\begin{aligned}{238}\\{\underline {-74}}\\{164}\end{aligned}}$

所以得到的解：238－74＝164

習題：

1. $8-2=$?
2. $9-5=$?
3. $4-2=$?
4. $6-2=$?
5. $36-5=$?
6. $59-13=$?
7. $73-45=$?
8. $92-72=$?
9. $48-38=$?
10. $509-372=$?
11. $666-111=$?
12. $869-107=$?
13. $678-181=$?
14. $489-226=$?

乘法

乘法的符號是「$\times$」或「$\cdot$」，在電腦上常以「$*$」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：$7\times 9=63$。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：$7(9)=63$。

附錄的#乘法表，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。

乘法的法則：

• 交換律：$x\cdot y=y\cdot x$
• 結合律：$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
• 分配律：$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
• $x\cdot 1=x$
• $x\cdot 0=0$

習題：

1. $9\times 9=$?
2. $4\times 3=$?
3. $2\times 7=$?
4. $7\times 8=$?
5. $3\times 9=$?
6. $36\times 11=$?
7. $65\times 45=$?
8. $12\times 12=$?
9. $85\times 74=$?
10. $31\times 70=$?
11. $69\times 45=$?
12. $67\times 54=$?

除法

除法的符號是「$\div$」，或以分線表示，在電腦上常以「$/$」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：$63\div 7=9$。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。
另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。

例如 :$6\div {\color {Orange}3}=2$ ，就好像$6-{\color {Orange}3}-{\color {Orange}3}=0$，$6-{\color {Orange}3}=3,3-{\color {Orange}3}=0$，$6$被${\color {Orange}3}$減了兩次就變成$0$

$36\div {\color {Orange}11}$ = ?

$36-{\color {Orange}11}=25$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=14$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=3$

$36-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}-{\color {Orange}11}=-8$，因值已經低於0了，不能採用！

$36$被${\color {Orange}11}$連減了3次，$36-11-11-11=3$就是餘數。所以$36\div 11$ = 3餘3

除法的法則：

• $x/1=x$
• $x/x=1$ ($x$≠$0$)
• $x/0$ = ∞，無窮大
• $0/0$ = 不定值
• $-x/0$ = 負無限

習題：

1. $9\div 3=$?
2. $4\div 1=$?
3. $7\div 7=$?
4. $8\div 4=$?
5. $5\div 5=$?
6. $64\div 8=$?
7. $72\div 9=$?
8. $24\div 6=$?
9. $56\div 8=$?
10. $168\div 4=$?
11. $750\div 5=$?
12. $627\div 3=$?
13. $50\div 3=$?

乘方

$b^{n}$等同於$b$自乘 $n$次，即$b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$。

開方

開方是乘方的逆運算。

四則運算

所謂四則運算，是指數與數之間的加、減、乘、除這四種基本運算。括號$()$之內的部份要先計算，然後四則運算要先乘除後加減。

例題：$(36+5-1*5)*5/5+5$

上題為： $(36+5-1*5)*5/5+5$

$=(41-5)*5/5+5$

$=36\times 5\div 5+5$ 在此步看見$\times 5$與$\div 5$可以把他們相約 改寫為$36+5=41$也稱跳步

$=180/5+5$

$=36+5=41$

習題：

1. $(10+3)\times 5=$?
2. $6\times 6+5=$?
3. $4\times 6+39=$?
4. $396\div 11+11=$?
5. $36+[(36+5)\times 2-11\times 7]=$?

小數與分數

• 小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45.
• 分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3

習題：

請分辨出分數和小數.

• 3.5
• 2/5
• 6.7
• 5/3
• 10/13
• 4.7

百分率

百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，有計算機率、表示數量等，例：35%, 48%.
注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。

附錄一：速算技巧

自古以來，人們總結了很多速算技巧。利用這些技巧，在很多情況下，能夠極大地提高人們的計算速度。

減法速算

• 兩數交叉型減法速解法：
  • 例如：$63-36=(6-3)*9=27$（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。
• 10的n次方減某數：
  • $10000-1173$，速算法為將$10^{n}$視為$9\times 10^{n-1}+9\times 10^{n-2}+9\times 10^{n-3}+...+9\times 10^{2}+10$，並分拆各數位（$10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)$），然後各數位相減（$(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)$），得出最終結果（$(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827$）。

乘法速算

• 乘以5的數：
  • 數字乘以5：$36\times 5$，速算法為將36乘以10（$36\times 10=360$），再將結果除以2（$360\div 2=180$）。

• 乘以11的數：
  • 兩位數乘以11：$36\times 11$，速算法為將６、３兩數之和（$6+3=9$），插入36的中間，(如和超過10則進位)，即$36\times 11=396$。
  • 三位數乘以11：$536\times 11$，速算法為將$3+5$、$6+3$插入5、6的中間，即$536\times 11=5896$。
  • 四位數乘以11：$3636\times 11$，速算法為將$3636$拆成$3600+36$，再用$11$去乘它們，又$3600\times 11=39600$，$36\times 11=396$，故$3636\times 11=39996$。
    • $1173\times 11$，速算法為將$1173$拆成$1100+73$，再用$11$去乘它們，又$1100\times 11=12100$，$73\times 11=803$，故$1173\times 11=12903$。

• 乘以111的數：
  • 兩位數乘以111：$36\times 111$，速算法為將６、３兩數之和$6+3=9$，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即$36\times 111=3996$。
  • 三位數乘以111：$536\times 111$，速算法為將$536$拆成$500+36$，再用$111$去乘它們，又$500\times 111=55500$，$36\times 111=3996$，故$536\times 111=59496$。
• 兩位數乘以121：$36\times 121$，速算法為將$36\times 121$拆為$36\times 11\times 11=396\times 11=4356$。

格子乘法

第一步：畫帶斜線的格子，將第一數（58）寫在格子頂部，第二數（213）書寫着格子的右側如圖，格子斜線下方寫下乘積的個位數，格子斜線之上寫入乘積的十位數。

第一步

第二步：將每個格子頂上數字與同一格子右邊的數字相乘，將乘積逐個寫入格子內，然後自下而上按斜線將數字相加，將所得的和寫在格子圖之下或左邊：

• $4=4$，將4寫在斜線對齊的格子圖下邊。
• $8+2+5=15$，將和的個位數「5」寫在斜線對齊的格子下邊，十位數進位到下一位斜線中如圖
• $6+5+1+(1)=13$，將和的個位數寫在斜線對齊的格子邊上（左邊），將十位數進位。
• $1+(1)=2$，記入格子左邊
• $1=1$

第二步

第三步：從格子左邊自上而下，接格子下邊自左至右，讀出乘積：12354

所以 $58\times 213=12354$

第三步

除法速算

• 除以5的數：
  • 數字除以5：$36\div 5$，速算法為將36除以10（$36\div 10=3.6$），再將結果乘以2（$3.6\times 2=7.2$）。
• 除以11的數：
  • 數字除以11：$12892\div 11$，速算法為從左側依序刪除數字，並記錄刪除的數字，然後再在下一個數位減去刪除的數字。
  1. $12892$從左側刪除一位數字之後為$2892$，記錄$1$。$2892-1000=1892$。
  2. $1892$從左側刪除一位數字之後為$892$，記錄$1$。$892-100=792$。
  3. $792$從左側刪除一位數字之後為$92$，記錄$7$。$92-70=22$。
  4. $22$從左側刪除一位數字之後為$2$，記錄$2$。$2-2=0$。
  5. 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字：$1172$。
     • 下方為遇到特殊情況時的處理方式：$2134\div 11$。
     1. $2134$從左側刪除一位數字之後為$134$，記錄$2$。
     2. 但$134-200$的結果為負數：此時將將原先記錄的數字減1，改記錄$2-1=1$；然後將減數的首數位減一，並在被減數的首數位前添加數位1，得$1134-100=1034$。
     3. 但此時結果的前兩位數字為$10$，無法進行下一步行動，否則會陷入死循環。此時應該將$10$視為一個獨立的數位整體，然後執行下一步行動。
     4. $1034$從左側刪除（技術上的）一位數字之後為$34$，記錄$10$。$34-100$的結果為負數。
     5. 此時將原先記錄的數字減1，改記錄$10-1=9$。然後將減數的（技術上的）首數位減一，並在被減數的首數位前添加數位1，得$134-90=44$。
     6. $44$從左側刪除一位數字之後為$4$，記錄$4$。$4-4=0$。
     7. 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字：$194$。

除以7

7是很特殊的數字，而求除以7的小數值往往令人頭疼。其實除以7的計算中蘊藏着非常簡單的規律。請看：

$1\div 7=0.142857142857...$

$2\div 7=0.285714285714...$

$3\div 7=0.428571428571...$

$4\div 7=0.571428571428...$

$5\div 7=0.714285714285...$

$6\div 7=0.857142857142...$

看出規律沒有？$1\div 7=0.14,28,57$，後面的數剛好是前面的兩倍，$28\times 2=56$，而$56\times 2$剛好進一位就成57，後面$2\div 7$，$3\div 7$，$4\div 7$，$5\div 7$，$6\div 7$正好都是這串數中的一段，只是起始位置不同而已。只要記住142857這串數，就可以很易算出所有除以7的值。
高中化學有條定理，這規律非常有用：1摩任何氣體的體積都接近22.4升。而$22.4=3.2\times 7$，$3.2\times 10=32=2^{5}$，在計算中，3.2這因子很易約去，而知道除以7的規律，這種計算往往就變得很快。

乘方速算

  建議閣下在閱讀此節前先閱讀並熟記§ 乘方表一節的內容。

• 10至19的乘方：
  • $(10+a)^{2}=10\times (10+a)+10a+a^{2}$
• 20至99的乘方：
  • 同前式，但須將20至99之間的數取近似值至十位，並將原式中的10替換成此數。

公式

公式可以將繁複的計算變易。

1. 分配率：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!$
2. 和平方：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$
3. 三數和平方：$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!$
4. 差平方：$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$
5. 平方差：$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!$
6. 和立方：$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!$
7. 差立方：$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!$
8. 立方和：$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$
9. 立方差：$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$
10. $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!$
11. $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

特殊公式

• $1^{2}+1=2^{2}-2$
• $2^{2}+2=3^{2}-3$
• $3^{2}+3=4^{2}-4$
• $4^{2}+4=5^{2}-5$
• $99^{2}+99=100^{2}-100$

已知$1134^{2}+1134+2270+1136+121+(24200+792)=a^{2}\quad (a>0)$，求a的值。

解答：
${\begin{array}{l}a^{2}&=1135^{2}-1135+2270+1136+121+(2200+72)\times 11\\&=1135^{2}+2270+1+121+2272\times 11\\&=(1135+1)^{2}+121+2272\times 11\\&=1136^{2}+11^{2}+2272\times 11\\&=(1136+11)^{2}=1147^{2}\\\Rightarrow &a=1147\end{array}}$

附錄二：各種表格

加法表

＋	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

乘法表

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
	1	2	3	4	5	6	7	8	9

乘方表

^	2	3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729

對數表

常用對數表

log	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0000	0043	0086	0128	0170	0212	0253	0294	0334	0374
11	0414	0453	0492	0531	0569	0607	0645	0682	0719	0755
12	0792	0828	0864	0899	0934	0969	1004	1038	1072	1106
13	1139	1173	1206	1239	1271	1303	1335	1367	1399	1430
14	1461	1492	1523	1553	1584	1614	1644	1673	1703	1732
15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931	1959	1987	2014
16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227	2253	2279
17	2304	2330	2355	2380	2405	2430	2455	2480	2504	2529
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718	2742	2765
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900	2923	2945	2967	2989
20	3010	3032	3054	3075	3096	3118	3139	3160	3181	3201
21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962
25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4561	4579	4594	4609
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900

自然對數表

1	0
2	0.693147180559945
3	1.09861228866811
4	1.386294361119891
5	1.6094379124341
6	1.791759469228055
7	1.945910149055313
8	2.079441541679836
9	2.19722457733622
10	2.302585092994046
11	2.397895272798371
12	2.484906649788
13	2.564949357461537
14	2.639057329615258
15	2.70805020110221