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算術

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以下習題另有解答,但強烈建議先練習習題,才看解答校正錯誤,而不是先偷看解答。

普通算術

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數的概念

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  • O → 1個O
  • OO → 2個O
  • OOO → 3個O
  • OOOO → 4個O
  • OOOOO → 5個O
  • OOOOOO → 6個O
  • OOOOOOO → 7個O
  • OOOOOOOO → 8個O
  • OOOOOOOOO → 9個O
  • OOOOOOOOOO → 10個O
Crystal Clear action edit習題:
  1. 以下的圖形共有幾個O?
    1. OOOOO → ?個O
    2. OOO → ?個O
    3. OOOOOOOO → ?個O
    4. O → ?個O
    5. OOOOOO → ?個O
  2. 試畫出指定個數的O:
    1. 4個O
    2. 2個O
    3. 7個O
    4. 10個O
    5. 9個O

數的大小關係

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哪邊的O比較多?

1. OOOOOOOO、OOOOO

2. OOOO、OOOOOOOOO

3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO

4. OOOOO、OOOOOO

假設有兩個數字,若該數字代表的O比較多,則該數字比較大。

大於、小於符號分別以「」、「」表示,開口一邊的數字比較大,若則稱A小於B,若則稱A大於B。

例子:

→ 4大於1

→ 2小於5

→ 6大於4

→ 7小於8

加法

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加法的符號是「」,讀作「加號」,加號前的數稱為「被加數」,加號後的數是「加數」,等號後面的答案稱為「和」,如下例題:

1是被加數,它被「加上」某個特定的數值1,也就是加數,得到和2。

Crystal Clear action edit習題:
  1. ?
  2. ?
  3. ?
  4. ?
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  17. ?

減法

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減法的符號是「」,讀作「減號」,減號前的數稱為「被減數」,減號後的數是「減數」,等號後面的答案稱為「差」,如例題:

36是被減數,從這個數中被「減掉」11;導致別的數的數值減少的數就是減數(此例中的11)。36被11減,得到差25。

如果被減數小於減數,就會出現負數。如:

減法也是加法的逆算,若將減數加上差可得被減數,就拿上面的例子來說明:

,其中36是被減數,11是減數,25是差。

將減數11加給25,即得到原來的被減數。

另外以下是退位減法的計算方式:

例如:238-74=?

我們可列豎式計算:

先計算個位數的部份:8-4=4

所以個位數先寫上4。

十位數不夠減,可以向百位數拿個1過來,變成13-7,運用口訣-7=-10+3,13-10+3=6,所以十位數先寫上6。

因為我們已經從百位數的2拿1走了,所以百位數剩下1。

所以得到的解:238-74=164


Crystal Clear action edit習題:
  1. ?
  2. ?
  3. ?
  4. ?
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  6. ?
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  14. ?

乘法

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乘法的符號是「」或「」,在電腦上常以「」表示,讀作「乘號」,乘號前的數稱為「被乘數」,乘號後的數是「乘數」,等號後面的答案稱為「積」,如例題:。若乘數及被乘數是10或以下,那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外,也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號,如例題:

附錄的#乘法表,被乘數是1時,不必背誦。背誦其他九九乘法的積時,由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。

乘法的法則:

  • 交換律:
  • 結合律:
  • 分配律:
Crystal Clear action edit習題:
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  2. ?
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  10. ?
  11. ?
  12. ?

除法

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除法的符號是「」,或以分線表示,在電腦上常以「」表示,它們均讀作「除號」,除號前的數稱為「被除數」,除號後的數是「除數」,等號後面的答案稱為「商」,如例題:。若除數及被除數是10或以下,那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外,部分數被除後可能出現循環小數或無限小數,那麼便需要轉化成分數來表示(有關小數和分數的資料,將會在下章介紹)。
另外,除的意義為「將一份平均地分為多份」,因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。

例如 : ,就好像減了兩次就變成

= ?

,因值已經低於0了,不能採用!

連減了3次,就是餘數。所以 = 3餘3

除法的法則:

  • ()
  • = ∞,無窮大
  • = 不定值
  • = 負無限
Crystal Clear action edit習題:
  1. ?
  2. ?
  3. ?
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  12. ?
  13. ?

乘方

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等同於自乘 次,即

開方

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主頁面:算術/開方

開方是乘方的逆運算。

四則運算

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所謂四則運算,是指數與數之間的加、減、乘、除這四種基本運算。括號之內的部份要先計算,然後四則運算要先乘除後加減

例題:

上題為:

在此步看見可以把他們相約 改寫為也稱跳步

Crystal Clear action edit習題:
  1. ?
  2. ?
  3. ?
  4. ?
  5. ?

小數與分數

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  • 小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點,稱為「小數點」。例:3.5 ,4.5 ,8.45.
  • 分數類似小數,表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母,代表共有多少份。上面是分子,也就是佔多少份。例:5/3
Crystal Clear action edit習題:

請分辨出分數和小數.

  • 3.5
  • 2/5
  • 6.7
  • 5/3
  • 10/13
  • 4.7

百分率

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百分率亦類似小數,表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多,有計算機率、表示數量等,例:35%, 48%.
注意:"%"的意思是百分之一,並不是除以100。


附錄一:速算技巧

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自古以來,人們總結了很多速算技巧。利用這些技巧,在很多情況下,能夠極大地提高人們的計算速度。

減法速算

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  • 兩數交叉型減法速解法:
    • 例如:(由6和3所組成的算式,6用3去減,再乘以9)。
  • 10的n次方減某數:
    • ,速算法為將視為,並分拆各數位,然後各數位相減,得出最終結果

乘法速算

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  • 乘以5的數:
    • 數字乘以5:,速算法為將36乘以10,再將結果除以2
  • 乘以11的數:
    • 兩位數乘以11:,速算法為將6、3兩數之和,插入36的中間,(如和超過10則進位),即
    • 三位數乘以11:,速算法為將插入5、6的中間,即
    • 四位數乘以11:,速算法為將拆成,再用去乘它們,又,故
      • ,速算法為將拆成,再用去乘它們,又,故
  • 乘以111的數:
    • 兩位數乘以111:,速算法為將6、3兩數之和,加兩次,插入36的中間,(如和超過10則進位),即
    • 三位數乘以111:,速算法為將拆成,再用去乘它們,又,故
  • 兩位數乘以121:,速算法為將拆為

格子乘法

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主頁面:w:格子乘法

第一步:畫帶斜線的格子,將第一數(58)寫在格子頂部,第二數(213)書寫着格子的右側如圖,格子斜線下方寫下乘積的個位數,格子斜線之上寫入乘積的十位數。

第一步

第二步:將每個格子頂上數字與同一格子右邊的數字相乘,將乘積逐個寫入格子內,然後自下而上按斜線將數字相加,將所得的和寫在格子圖之下或左邊:

  • ,將4寫在斜線對齊的格子圖下邊。
  • ,將和的個位數「5」寫在斜線對齊的格子下邊,十位數進位到下一位斜線中如圖
  • ,將和的個位數寫在斜線對齊的格子邊上(左邊),將十位數進位。
  • ,記入格子左邊
第二步

第三步:從格子左邊自上而下,接格子下邊自左至右,讀出乘積:12354

所以

第三步

除法速算

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  • 除以5的數:
    • 數字除以5:,速算法為將36除以10,再將結果乘以2
  • 除以11的數:
    • 數字除以11:,速算法為從左側依序刪除數字,並記錄刪除的數字,然後再在下一個數位減去刪除的數字。
    1. 從左側刪除一位數字之後為,記錄
    2. 從左側刪除一位數字之後為,記錄
    3. 從左側刪除一位數字之後為,記錄
    4. 從左側刪除一位數字之後為,記錄
    5. 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字:
      • 下方為遇到特殊情況時的處理方式:
      1. 從左側刪除一位數字之後為,記錄
      2. 的結果為負數:此時將將原先記錄的數字減1,改記錄;然後將減數的首數位減一,並在被減數的首數位前添加數位1,得
      3. 但此時結果的前兩位數字為,無法進行下一步行動,否則會陷入死循環。此時應該將視為一個獨立的數位整體,然後執行下一步行動。
      4. 從左側刪除(技術上的)一位數字之後為,記錄的結果為負數。
      5. 此時將原先記錄的數字減1,改記錄。然後將減數的(技術上的)首數位減一,並在被減數的首數位前添加數位1,得
      6. 從左側刪除一位數字之後為,記錄
      7. 最後將從左側依序刪除的數字按照數位順序串聯成一個完整的數字:

除以7

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7是很特殊的數字,而求除以7的小數值往往令人頭疼。其實除以7的計算中蘊藏着非常簡單的規律。請看:

看出規律沒有?,後面的數剛好是前面的兩倍,,而剛好進一位就成57,後面正好都是這串數中的一段,只是起始位置不同而已。只要記住142857這串數,就可以很易算出所有除以7的值。
高中化學有條定理,這規律非常有用:1摩任何氣體的體積都接近22.4升。而,在計算中,3.2這因子很易約去,而知道除以7的規律,這種計算往往就變得很快。

乘方速算

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  • 10至19的乘方:
  • 20至99的乘方:
    • 同前式,但須將20至99之間的數取近似值至十位,並將原式中的10替換成此數。

公式

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公式可以將繁複的計算變易。

  1. 分配率:
  2. 和平方:
  3. 三數和平方:
  4. 差平方:
  5. 平方差:
  6. 和立方:
  7. 差立方:
  8. 立方和
  9. 立方差

特殊公式

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Crystal Clear action edit 已知,求a的值。

解答:

附錄二:各種表格

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加法表

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1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
  1 2 3 4 5 6 7 8 9

乘法表

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× 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1
2 2 4
3 3 6 9
4 4 8 12 16
5 5 10 15 20 25
6 6 12 18 24 30 36
7 7 14 21 28 35 42 49
8 8 16 24 32 40 48 56 64
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
  1 2 3 4 5 6 7 8 9

乘方表

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^ 2 3
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 729

對數表

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常用對數表

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log 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4561 4579 4594 4609
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

自然對數表

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1 0
2 0.693147180559945
3 1.09861228866811
4 1.386294361119891
5 1.6094379124341
6 1.791759469228055
7 1.945910149055313
8 2.079441541679836
9 2.19722457733622
10 2.302585092994046
11 2.397895272798371
12 2.484906649788
13 2.564949357461537
14 2.639057329615258
15 2.70805020110221