傅立叶转换定理(1) —线性(linearity)
[编辑]也称作重叠定理(superposition)
已知：
则对于任意实数或复数常数a，b
证明
![{\displaystyle \Im a\chi (t)+by(t)=\int _{-\infty }^{\infty }[a\chi (t)+by(t)]e^{-j2\pi ft}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41aefdd0010f1b00a1c955285cb0d05830976734)
=
=
＃
试求
的傅立叶转换。
解
(尤拉公式)
依傅立叶转换的线性定理知
©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。
=
=
=
由前面範例知
=
试求单位步阶函数u(t)的傅立叶转换。
【解】
© Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.
(1)由上圖知：![{\displaystyle u(t)={\frac {1}{2}}[1+\operatorname {sgn} (t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9398d906ac16a9d2d81b651de213447ac2640613)
(2)已知
(3)故![{\displaystyle \Im {u(t)}={\frac {1}{2}}[\Im {1}+\Im {\operatorname {sgn} (t)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc5545c6ebf4e8c8b52d09e657ce45edfc49cdc)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[\delta (f)+{\frac {1}{j\pi f}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2573d666de5de77abd453163095a38c4131b029)
© G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
傅立叶转换定理(2)-时间比例调整(time scaling)
[编辑]已知：
则：
信号在时域的时间参数t做等比例放大或缩小a倍，此程序在频域的频率参数f 缩小或放大
倍，同时振幅大小也缩小或放大\frac{1}{\mid1\mid}倍。讯号在时间轴压缩
则其频谱会扩张；反之，信号在时间扩张 
则其频谱会压缩。
傅立叶转换定理(2)-时间比例调整(time scaling)
[编辑]【证明】(1) a>0
令
(2) a<0
#
试绘出
与
之频谱。
【解】
© G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
傅立叶转换原理(3.)—时间反转(time reversal)
[编辑]已知：
则
明显的，此定理为时间比例调整定理的特例。
讯号在时域的时间参数 t 反转造成在频域的频率参数 f 也反转。
若
为实数，则
试求
之傅立叶转换。
【解】(1)
=
其中
明显的，
故
(2)由前面范例可知：
(3)
線性定理
=
=
=
=
© B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.
傅立叶转换定理(4) —乘上
[编辑]已知：
则
【证明】证明n=1的情形：
(1)依傅立葉轉換的公式：
(2)等号两边对f微分
=![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)[{\frac {d}{df}}e^{-j2\pi ft}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4abb47adb77bdba5b5d6b5f776c2176f2acff7a)
=![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)-j2\pi te^{-j2\pi ft}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2625deee7053013004c7e1e2c4e5cbbfe615aa4c)
=![{\displaystyle (-j2\pi )\int _{-\infty }^{\infty }[t\chi (t)]e^{-j2\pi ft}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7add2024cb98e31c38bc41e8b2a470e8429a221c)
=
故
试求下图x(t)的傅立叶转换。
© Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.
【解】
(1)=(t) rect
(2)已知
{rect}=2sinc(2f) (2sa(
))
(3)故 {}= {t rect}
=
((j)
)
=j
(j2
)
© Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.
已知：
则
明顯的，當x(t)為實數時，
故
即
【证明】
=[
]*
=![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\chi ^{*}(t)e^{-j2\pi ft}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559dbab2eb8c56e3f1cbc944cd21421883253b8e)
= {
}
傅立叶转换定理(6) —对偶性(duality)
[编辑]已知：
则
【证明】】
變數t與f互換
=
= {
}
试求的傅立叶转换。
【解】：(1)已知
=rect(
)
sinc(
)
(2)依据对偶性知：
sinc(
)
=rect(
)=rect(
)rect为偶函数
(3)将上式
用2W代可得
=2Wsinc(2Wt) =rect(
)
© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.
傅立叶转换定理(7) —时移(time shift)
[编辑]已知：
X(T)
x(f) 
则
讯号在时间轴上平移(讯号超前或延迟)在频域的效果相当于在原讯号的相位频谱加上一个线性变化量
，此变化量称为傅立叶转换X(f)的线性相位平移(linear phase shift) 。
{
} =
=
令
=
=
已知 {
} = 1，试求
的傅立叶转换。
【解】
{} =
{} =
=
重复范例5.4，试求
的傅立叶转换。
【解】：
(1)已知
(2)根据时移定理知:
=
=
(3)故
{
} = {
} - {} =![{\displaystyle \sin c(f)[e^{j\pi f}-e^{-j\pi f}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad75dc0e25c85101d6ece2701214f862b88d6ea)
=
=
=
由时移定理知，对于
时间的延迟将会造成
的相移，此一相移量与频率 f 成正比。也就是说，针对时间的延迟，讯号的高频成分会有较大的相位移，而低频部分则相移较小。
傅立叶转换定理(8) —频移(frequency shift)
[编辑]已知：
则
讯号在时域乘上ㄧ复指数讯号
，在频域的效果相当于讯号的频谱在频率轴上平移
。
频移定理与时移定理互为对偶定理。
【证明】
{
} =![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{j2\pi f_{0}t}]e^{-j2\pi ft}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4177867d86fc0265c130a1876d5b936f77cf6ee)
==![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{-j2\pi (f-f_{0})t}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3151c245fefa557fb4bd2da2be5e131f5760a6)
=
范例5.19—调变原理(modulation)
[编辑]已知
，试求(a)
(b)
的傅立叶转换。
【解】 (a)
(1) =
=![{\displaystyle {\frac {1}{2}}[x(t)^{j2\pi f_{0}t}+x(t)^{-j2\pi f_{0}t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b0afc3b91fd29471d1a609541b336b2cd9b7e7)
(2) {
} =
{}+ {
}] =
{
}
(b)
(1)
=
=![{\displaystyle {\frac {1}{2j}}[x(t)^{j2\pi f_{0}t}-x(t)^{-j2\pi f_{0}t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1326ffd39de8f23eea6618fa85ceb318b4ea8f)
(2) {
} =
{
}
试求
=
的傅立叶转换。
【解】 已知 
故
= {} =![{\displaystyle \sin c[2(f-10)]+\sin c[2(f+10)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8854d630edbbec0702cebb10247288df1d9bb2)
傅立叶转换定理(9) —旋积定理(convolution)
[编辑]已知：
则
=
两个讯号在时域做旋积运算相当于此二讯号在频域相乘。
【证明】︰
(1)令
= {
} =![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )y(t-\lambda )\,d\lambda ]e^{-j2\pi ft}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528b3c27c68b45d69f9be1eeb31d4847ad4c3bd8)
交换积分顺序![{\displaystyle \Rightarrow Z(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )[\int _{-\infty }^{\infty }y(t-\lambda )e^{-j2\pi ft}dt]\,d\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb04200cf7453de0bccc1dc3e1e603cb1a65aad)
【证明】
(2)根据时移定理：
(3)故![{\displaystyle Z(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )Y(f)e^{-j2\pi f\lambda }\,d\lambda =[\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )e^{-j2\pi f\lambda }\,d\lambda ]Y(f)=X(f)Y(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0bb0d90353aa41302dc0e06a568dd1483735e7)
试求方波
自己做旋积运算后的傅立叶转换。
【解】
(1)已知
(2)令
根据旋积定理知：
= {
} = {
} = 
= 
定义：
= 
试求其傅立叶转换。
【解】
(1)根据旋积运算公式及三角波的定义知：
(2)又由范例5.21可知：：
(3)故
系统的转换函数(transfer function)
[编辑]一线性非时变系统对输入讯号 x(t) 的响应可表示为
其中h(t) 为系统的单位脉冲响应
将
取傅立叶转换可得：
其中
= {
}
H(f)称为系统的转换函数(transfer function) ；或称为系统的频率响应(frequency response) 。
傅立叶转换定理(10) —乘积定理(multiplication)
[编辑]已知：
则
明显的，乘积定理与旋积定理互为对偶定理。
【证明】︰
{
} = 
= ![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{j2\pi \lambda t}dt]y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ada41ba0f58d386c696098cf41818dea7ad61bd)
= ![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )[\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j2\pi (f-\lambda )t}dt]d\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ea6306668b110a28ee9a0b309038fde2e53b28)
= 
= 
试求馀弦脉波函数(cosinusoidal pulse)
的傅立叶转换。
【解】
(1)已知
{
}
(2)依据乘积定理可知：
= {} = {
} * {
} = 
* {}
= 
{![{\displaystyle \sin c[\tau (f-f_{0})]+\sin c[\tau (f+f_{0})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a84146aea3523637fd160a93d40d0cbbe25107)
}
傅立叶转换定理(11) —时域微分(time-domain differentiation)
[编辑]已知：
若 x(t) 可微分，则
在时域对 x(t) 作微分相当于在频域乘上
。由于的大小与频率 f 成正比，故频率越高的成分将会乘上越大的倍数。也就是说，微分的动作会对高频有放大的效果。
时域微分定理与定理(4)乘上定理互为对偶定理。
【证明】
(1)已知
(2)等号两边分别对 t 微分：![{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}[\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f464e2696dfed176e70706a2e22e8220579b44)
= 
= 
= ![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[(j2\pi f)X(f)]e^{j2\pi ft}\,df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f54e63715c6a839598b854ca6b4aa99c3498410)
【证明】
(3)故
(4)重复上述步骤可得
傅立叶转换定理(12) —时域积分(time-domain integration)
[编辑]已知：
则
在时域对 x(t) 作积分相当于在频域除以，故积分会衰减讯号的高频部份。
公式中，
。 若
，则公式可简化为：
【证明】
(1)根据旋积运算的定义：
(2) {
} = {
}
【证明】︰
(3)根据旋积定理： { } = {} = {} {
} = ![{\displaystyle X(f)[{\frac {1}{j2\pi f}}+{\frac {1}{2}}\delta (f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea13fbdaaed3e1fe02718473cd837452b5559904)
= 
= 
试求下图 x(t) 的傅立叶转换。
【解法1】
(1)令
(2)由上图知：![{\displaystyle z(t)=K[\delta (t+b)-\delta (t+a)-\delta (t-a)+\delta (t-b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854a76b54d949a6d91a3ebc97b9ad562760da29f)
其中(
)
故
= {} = ![{\displaystyle K[e^{j2\pi fb}-e^{j2\pi fa}-e^{-j2\pi fa}+e^{-j2\pi fb}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08130f883d0571360cfa337afc0807aef69b5ee6)
= ![{\displaystyle 2K[\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6932169ba41354faf422bd9a101ee286d670cf)
(3)根据时域积分定理：
![{\displaystyle \Rightarrow Y(f)={\frac {1}{j2\pi f}}Z(f)+{\frac {1}{2}}Z(0)\delta (f)=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]+0=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edd4f1edf13c7edeb8317e185f60c41ba159c81)
(4)因
，再一次利用时域积分定理：
![{\displaystyle X(f)={\frac {1}{j2\pi f}}Y(f)+{\frac {1}{2}}Y(0)\delta (f)=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]+0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cb92ea8bdaa610ace1696554eb382e29f6c156)
= 
= 
= K[ 
]
【解法2】
(1)由图可知：
其中
(2)故 = {} = B {
} - 
{
} = 
