訊號與系統/傅立葉轉換的定理

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 當前用字模式下顯示為→積分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 當前用字模式下顯示為→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 當前用字模式下顯示為→約束
5. 原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
6. 原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
7. 原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
8. 原始語言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 當前用字模式下顯示為→埃拉托斯特尼
9. 原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
10. 原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
11. 原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
12. 原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
13. 原始語言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 當前用字模式下顯示為→羅必達
14. 原始語言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 當前用字模式下顯示為→馬可夫
15. 原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
16. 原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
17. 原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
18. 原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
19. 原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
20. 原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
21. 原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
22. 原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
23. 原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
24. 原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
25. 原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
26. 原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
27. 原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
28. 原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
29. 原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
30. 原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
31. 原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
32. 原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
33. 原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
34. 原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
35. 原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
36. 原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
37. 原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
38. 原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
39. 原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
40. 原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
41. 原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
42. 原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
43. 原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
44. 原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
45. 原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
46. 原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
47. 原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
48. 原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
49. 原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
50. 原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
51. 原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元素
52. 原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
53. 原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
54. 原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
55. 原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→均值定理
56. 原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
57. 原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
58. 原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
59. 原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
60. 原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
61. 原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
62. 原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
63. 原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
64. 原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
65. 原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
66. 原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
67. 原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
68. 原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
69. 原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
70. 原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
71. 原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
72. 原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
73. 原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
74. 原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
75. 原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
76. 原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
77. 原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
78. 原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
79. 原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
80. 原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
81. 原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
82. 原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
83. 原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
84. 原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
85. 原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
86. 原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
87. 原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
88. 原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
89. 原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
90. 原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
91. 原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
92. 原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
93. 原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

傅立葉轉換定理(1) —線性(linearity)

也稱作重疊定理(superposition) 已知： $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm{X}(f)({\mathrm{X}}_{\omega }(\omega ))$ $y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega ))$

則對於任意實數或複數常數a，b

$a\chi (t)+by(t)\leftrightarrow a\mathrm{X}(f)+b\mathrm{X}(f)(a{\mathrm{X}}_{\omega }(\omega )+b{Y}_{\omega }(\omega ))$

證明 $\mathrm{\Im }a\chi (t)+by(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[a\chi (t)+by(t)]e^{-j2\pi ft}dt$

=$a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt+b{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-j2\pi ft}dt$

=$a\mathrm{X}(f)+bY(f)$＃

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範例5.11

試求$\chi (t)=B\cos 2\pi f_{0}t$的傅立葉轉換。 解$\chi (t)=B\cos 2\pi f_{0}t=\frac{B}{2}{e}^{j2\pi f_{0}t}+\frac{B}{2}{e}^{-j2\pi f_{0}t}$(尤拉公式)

依傅立葉轉換的線性定理知

                                      ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

$\mathrm{\Im }\chi (t)=\mathrm{\Im }\frac{B}{2}{e}^{j2\pi f_{0}t}+\frac{B}{2}{e}^{-j2\pi f_{0}t}$

=$\frac{B}{2}\mathrm{\Im }{e}^{j2\pi f_{0}t}+\frac{B}{2}\mathrm{\Im }{e}^{-j2\pi f_{0}t}$

=$\frac{B}{2}(\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0))$

=$\frac{B}{2}(\delta (\frac{\omega -{\omega }_0}{2\pi })+\delta (\frac{\omega +{\omega }_0}{2\pi }))$

                                 由前面範例知
                                     $\mathrm{\Im }{e}^{j2\pi f_{0}t}$
                                       =$\delta (f-f_0)$
                                       $\omega =2\pi f$
                                       ${\omega }_0=2\pi f_0$

$\pi B\delta (\omega -{\omega }_0)+(\omega +{\omega }_0)$

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範例5.12

試求單位步階函數u(t)的傅立葉轉換。 【解】

                                 © Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

          (1)由上圖知：$u(t)=\frac{1}{2}[1+\mathrm{sgn}(t)]$
            (2)已知$\mathrm{sgn}(t)\leftrightarrow \frac{1}{j\pi f}(=\frac{2}{j\omega })$

(3)故$\mathrm{\Im }u(t)=\frac{1}{2}[\mathrm{\Im }1+\mathrm{\Im }\mathrm{sgn}(t)]$
        $=\frac{1}{2}[\delta (f)+\frac{1}{j\pi f}]$
      $\frac{1}{j2\pi f}+\frac{1}{2}\delta (f)(=\frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega ))$

                                   © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
                                                          

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傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm{X}(f)({\mathrm{X}}_{\omega }(\omega ))$ 則：$\chi (at)\leftrightarrow \frac{1}{\mid a\mid }\mathrm{X}(\frac{f}{a})(\frac{1}{\mid a\mid }{\mathrm{X}}_{\omega }(\frac{\omega }{a}))$ 信號在時域的時間參數t做等比例放大或縮小a倍，此程序在頻域的頻率參數f 縮小或放大$\frac{1}{a}$倍，同時振幅大小也縮小或放大\frac{1}{\mid1\mid}倍。訊號在時間軸壓縮$(a>1)$則其頻譜會擴張；反之，信號在時間擴張 $(a<1)$則其頻譜會壓縮。

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傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)

【證明】(1) a>0 $\mathrm{\Im }\chi (at)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (at)e^{-j2\pi ft},dt$

                                                                令$at=\tau$

$=\frac{1}{a}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (\tau )e^{-j2\pi \frac{f}{a}\tau },d\tau$ $=\frac{1}{a}\mathrm{X}(\frac{f}{a})$

(2) a<0 $\mathrm{\Im }\chi (at)=-\frac{1}{a}\mathrm{X}(\frac{f}{a})$ $\mathrm{\Im }\chi (at)=\frac{1}{\mid a\mid }\mathrm{X}(\frac{f}{a})$ #

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範例5.13

試繪出$\chi (t)=rect(\frac{t}{a})$與$y(t)=\chi (\frac{t}{2})=rect(\frac{t}{4})$之頻譜。

【解】 $\chi (t)=rect(\frac{t}{a})\leftrightarrow \mathrm{X}(f)=2sinc(2f)$ $y(t)=\chi (\frac{t}{2})\leftrightarrow Y(f)=2\mathrm{X}(2f)=4sinc(4f)$

                              © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

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傅立葉轉換原理(3.)—時間反轉(time reversal)

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm{X}(f)<{\mathrm{X}}_{\omega }(\omega )$

則$\chi (-t)\leftrightarrow \mathrm{X}(-f)<{\mathrm{X}}_{\omega }(-\omega )$ 明顯的，此定理為時間比例調整定理的特例。

訊號在時域的時間參數 t 反轉造成在頻域的頻率參數 f 也反轉。

若$\chi (t)$為實數，則$\mathrm{\Im }\chi (-t)=\mathrm{X}(-f)={\mathrm{X}}^{\ast }(f)$

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範例5.14

試求$\chi (t)=e^{-a\mid t\mid },a>0$之傅立葉轉換。 【解】(1)$\chi (t)=e^{-a\mid t\mid }=e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t)$ =${\chi }_1(t)+{\chi }_2(t)$

其中${\chi }_1(t)=e^{at}u(-t)$ ${\chi }_2(t)=e^{-at}u(t)$

明顯的，${\chi }_2(-t)=e^{-a(-t)}u(-t)$ $=e^{at}u(-t)={\chi }_1(t)$

故$\mathrm{\Im }{\chi }_1(t)={\chi }_2(-t)$ $={\mathrm{X}}_2(-f)$

(2)由前面範例可知： ${\mathrm{X}}_2(f)=\mathrm{\Im }{\mathrm{X}}_2(t)=\mathrm{\Im }{e}^{-at}u(t)=\frac{1}{a+j2\pi f}$ (3)$\mathrm{X}(f)=\mathrm{\Im }\mathrm{X}(t)=\mathrm{\Im }{\mathrm{X}}_1(t)+{\mathrm{X}}_2(t)$

                                           線性定理

 =$\mathrm{\Im }{\mathrm{X}}_1(t)+{\mathrm{X}}_2(t)$
 =${\mathrm{X}}_2(-f)+{\mathrm{X}}_2(f)$

 =$\frac{1}{a-j2\pi f}+\frac{1}{a+j2\pi f}$
 =$\frac{2a}{a^2+(2\pi f{)}^2}=\frac{2a}{a^2+(\omega {)}^2}$

                                  © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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傅立葉轉換定理(4) —乘上$t^n$

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm{X}(f)({\mathrm{X}}_{\omega }(\omega ))$

則$t^n\chi (t)\leftrightarrow (\frac{1}{-j2\pi }{)}^n\frac{d^n\mathrm{X}(f)}{d{f}^n}(j^n\frac{d{\mathrm{X}}_{\omega }^n(\omega )}{d{\omega }^n})$ 【證明】證明n=1的情形：

                (1)依傅立葉轉換的公式：

$\mathrm{X}(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt$

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(2)等號兩邊對f微分

$\frac{d\mathrm{X}(f)}{df}=\frac{d}{df}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt$

=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)[\frac{d}{df}{e}^{-j2\pi ft}]dt$

=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)-j2\pi t{e}^{-j2\pi ft}]dt$

=$(-j2\pi ){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[t\chi (t)]e^{-j2\pi ft}]dt$

=$(-j2\pi )\mathrm{\Im }t\chi (t)$

故$t\chi (t)\leftrightarrow \frac{1}{-j2\pi }\frac{d\mathrm{X}(f)}{df}$

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範例5.15

試求下圖x(t)的傅立葉轉換。

                              © Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

【解】

      (1)$\chi (t)$=(t) rect$(\frac{f}{2})$
     (2)已知$\mathrm{\Im }${rect$(\frac{f}{2})$}=2sinc(2f)  (2sa($\omega$))
     (3)故$\mathrm{\Im }$ {$\chi (t)$}=$\mathrm{\Im }$ {t rect$(\frac{f}{2})$}
       =$\frac{1}{-j2\pi }\frac{d}{df}2sinc(2f)$       ((j)$\frac{d}{d\omega }2sa(\omega ))$)

=j$\frac{2\pi f\cos (2\pi f)-\sin (2\pi f)}{2{\pi }^2{f}^2}$ (j2$\frac{\omega \cos \omega -\sin \omega }{{\omega }^2}$)

                             © Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

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傅立葉轉換定理(5) —共軛複數

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm{X}(f)$$({\mathrm{X}}_{\omega }(\omega ))$

則${\chi }^{\ast }(t)\leftrightarrow {\mathrm{X}}^{\ast }(-f)$$({\mathrm{X}}_{\omega }^{\ast }(-\omega ))$

                      明顯的，當x(t)為實數時，${\chi }^{\ast }(t)=\chi (t)$故${\mathrm{X}}^{\ast }(-f)=\mathrm{X}(f)$即$\mathrm{X}(-f)={\mathrm{X}}^{\ast }(f_0)$

【證明】$\mathrm{X}(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{-j2\pi ft}dt$

     $⟺\mathrm{X}(-f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{j2\pi ft}dt$
    $⟺{\mathrm{X}}^{\ast }(-f)$=[${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (t)e^{j2\pi ft}dt$]*
 =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\chi }^{\ast }(t)e^{-j2\pi ft}]dt$
 =$\mathrm{\Im }$ {${\chi }^{\ast }(t)$}

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傅立葉轉換定理(6) —對偶性(duality)

已知：$\chi (t)\leftrightarrow \mathrm{X}(f)$ $({\mathrm{X}}_{\omega }(\omega ))$

則$\mathrm{X}(t)\leftrightarrow \chi (-f)$

${\mathrm{X}}_{\omega }(t)\leftrightarrow 2\pi x(-\omega )$

【證明】】$\chi (t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (f)e^{j2\pi ft}df$

     $⟺\chi (-t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{X}(t)e^{-j2\pi ft}df$
                                            變數t與f互換

    $⟺{\chi }^{\ast }(-f)$=${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{X}(t)e^{-j2\pi ft}dt$
   =$\mathrm{\Im }$ {$\mathrm{X}(t)$}

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範例5.16

試求的傅立葉轉換。 ${\chi }_b(t)=2Wsinc(2Wt)$ 【解】：(1)已知${\chi }_a(t)$=rect($\frac{t}{\tau }$) $\leftrightarrow {\mathrm{X}}_a(f)=\tau$sinc($\tau f$)

(2)依據對偶性知：${\mathrm{X}}_a(t)=\tau$sinc($\tau t$)$\leftrightarrow {\chi }_a(-f)$=rect($\frac{-f}{\tau }$)=rect($\frac{f}{\tau }$)rect為偶函數

(3)將上式$\tau$用2W代可得 ${\chi }_b(t)={\mathrm{X}}_a(t){\mid }_{\tau }=2W$ $\leftrightarrow <math>{\mathrm{X}}_b(f)={\chi }_a(-f){\mid }_{\tau }=2W$ =2Wsinc(2Wt) =rect($\frac{f}{2W}$)

                       © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

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傅立葉轉換定理(7) —時移(time shift)

已知：

X(T)$\leftrightarrow$x(f) $(X_{\omega }(\omega ))$

則

$x(t-t_0)\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi f{t}_0}(X_{\omega }(\omega )e^{-j\omega t_0})$

訊號在時間軸上平移(訊號超前或延遲)在頻域的效果相當於在原訊號的相位頻譜加上一個線性變化量$-2\pi f{t}_0$，此變化量稱為傅立葉轉換X(f)的線性相位平移(linear phase shift) 。

$\mathrm{\Im }$ {$x(t-t_0)$} =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t-t_0)e^{-j2\pi ft}dt$ =$(\Rightarrow$令$\tau =t-t_0,t=\tau +t_0\Rightarrow d\tau =dt){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\tau )e^{-j2\pi f(\tau +t_0)}d\tau$ =$e^{-j2\pi f{t}_0}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$ =$e^{-j2\pi f{t}_0}X(f)$

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範例5.17

已知$\mathrm{\Im }$ {$\delta (t)$} = 1，試求$\delta (t-t_0)$ 的傅立葉轉換。

【解】

$\mathrm{\Im }$ {$\delta (t-t_0)$} =$e^{-j2\pi f{t}_0}$$\mathrm{\Im }$ {$\delta (t)$} =$e^{-j2\pi f{t}_0}\ast 1$ =$e^{-j2\pi f{t}_0}$

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範例5.18

重複範例5.4，試求$x_b(t)=rect(t+\frac{1}{2})-rect(t-\frac{1}{2})$ 的傅立葉轉換。

【解】：

(1)已知$rect(t)\leftrightarrow \sin c(f)$

(2)根據時移定理知:

$rect(t+\frac{-1}{2})$$\leftrightarrow \sin c(f)e^{-j2\pi f(\frac{-1}{2})}$ =$\sin c(f)e^{j\pi f}$

$rect(t-\frac{1}{2})$$\leftrightarrow \sin c(f)e^{-j2\pi f(\frac{1}{2})}$ =$\sin c(f)e^{-j\pi f}$

(3)故

$\mathrm{\Im }$ {$x_b(t)$} =$\mathrm{\Im }$ {$rect(t+\frac{1}{2})$} - $\mathrm{\Im }$ {$rect(t-\frac{1}{2})$} =$\sin c(f)[e^{j\pi f}-e^{-j\pi f}]$ =$\sin c(f)2j\sin (\pi f)$ =$\sin c(f)2j\pi f\frac{\sin (\pi f)}{\pi f}$ =$j2\pi f\sin c^2(f)$

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時移定理補充說明

由時移定理知，對於$t_0$時間的延遲將會造成$2\pi f{t}_0$的相移，此一相移量與頻率 f 成正比。也就是說，針對$t_0$時間的延遲，訊號的高頻成分會有較大的相位移，而低頻部分則相移較小。

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傅立葉轉換定理(8) —頻移(frequency shift)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega )$

則

$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}\leftrightarrow X(f-f_0)$

$x(t)e^{j{\omega }_{0}t}\leftrightarrow X_{\omega }(\omega -{\omega }_0))$

訊號在時域乘上ㄧ複指數訊號$e^{j2\pi f_{0}t}$，在頻域的效果相當於訊號的頻譜在頻率軸上平移$f_0$ 。

頻移定理與時移定理互為對偶定理。

【證明】

$\mathrm{\Im }$ {$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}$} =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[x(t)e^{j2\pi f_{0}t}]e^{-j2\pi ft}dt$ ==${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[x(t)e^{-j2\pi (f-f_0)t}]dt$ =$X(f-f_0)$

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範例5.19—調變原理(modulation)

已知$x(t)\leftrightarrow X(f)$ ，試求(a)$y_1(t)=x(t)\cos 2\pi f_{0}t$(b)$y2(t)=x(t)\sin 2\pi f_{0}t$ 的傅立葉轉換。

【解】 (a)

(1)$y_1(t)=x(t)\cos 2\pi f_{0}t$ =$x(t)\frac{e^{j2\pi f_{0}t}+e^{j2\pi f_{0}t}}{2}$ =$\frac{1}{2}[x(t{)}^{j2\pi f_{0}t}+x(t{)}^{-j2\pi f_{0}t}]$

(2)$\mathrm{\Im }$ {$y_1(t)$} =$\frac{1}{2}[\mathrm{\Im }$ {$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}$}+$\mathrm{\Im }$ {$x(t)e^{-j2\pi f_{0}t}$}] =$\frac{1}{2}$ {$X(f-f_0)+X(f+f_0)$}

(b)

(1)$y_2(t)x(t)\sin 2\pi f_{0}t$ =$x(t)\frac{e^{j2\pi f_{0}t}-e^{j2\pi f_{0}t}}{2j}$ =$\frac{1}{2j}[x(t{)}^{j2\pi f_{0}t}-x(t{)}^{-j2\pi f_{0}t}]$

(2)$\mathrm{\Im }$ {$y_2(t)$} =$\frac{1}{2j}$ {$X(f-f_0)-X(f+f_0)$}

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範例5.20

試求$x_1(t)$ =$rect(\frac{t}{2})\cos 20\pi t$的傅立葉轉換。

【解】 已知 $rect(\frac{t}{2})\cos 20\pi t\leftrightarrow 2\sin c(2f)$

故

$X_1(f)$ =$\mathrm{\Im }$ {$x_1(t)$} =$\sin c[2(f-10)]+\sin c[2(f+10)]$

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傅立葉轉換定理(9) —旋積定理(convolution)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega )$

$y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega )$

則

$x(t)\ast y(t)$ =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\lambda )y(t-\lambda )d\lambda \leftrightarrow X(f)Y(f)(X_{\omega }(\omega )Y_{\omega }(\omega ))$

兩個訊號在時域做旋積運算相當於此二訊號在頻域相乘。

【證明】︰

(1)令$z(t)=x(t)\ast y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\lambda )y(t-\lambda )d\lambda \Rightarrow Z(f)$ = $\mathrm{\Im }$ {$z(t)$} =${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\lambda )y(t-\lambda )d\lambda ]e^{-j2\pi ft}dt$交換積分順序$\Rightarrow Z(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\lambda )[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t-\lambda )e^{-j2\pi ft}dt]d\lambda$

【證明】

(2)根據時移定理：${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t-\lambda )e^{-j2\pi ft}dt=Y(f)e^{-j2\pi f\lambda }$

(3)故$Z(f)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\lambda )Y(f)e^{-j2\pi f\lambda }d\lambda =[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\lambda )e^{-j2\pi f\lambda }d\lambda ]Y(f)=X(f)Y(f)$

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範例5.21

試求方波$x(t)=rect(\frac{t}{\tau })$自己做旋積運算後的傅立葉轉換。

【解】

(1)已知$rect(\frac{t}{\tau })\leftrightarrow \tau \sin c(\tau f)$

(2)令$y(t)=x(t)\ast x(t)=rect(\frac{t}{\tau })\ast rect(\frac{t}{\tau })$

根據旋積定理知：$Y(f)$ = $\mathrm{\Im }$ {$y(t)$} = $\mathrm{\Im }$ {$x(t)\ast x(t)$} = $X(f)X(f)$ = ${\tau }^2\sin c^2(\tau f)$

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範例5.22—三角波的傅立葉轉換

定義：

$x(t)$ = $\mathrm{\Lambda }(\frac{t}{\tau })$$\equiv$$\{\begin{array}{cc}1-|t|/\tau ,& |t|<\tau \\ 0,& other\end{array}$

試求其傅立葉轉換。

【解】

(1)根據旋積運算公式及三角波的定義知：$rect(\frac{t}{\tau })\ast rect(\frac{t}{\tau })=\tau \mathrm{\Lambda }(\frac{t}{\tau })$

(2)又由範例5.21可知：：$rect(\frac{t}{\tau })\ast rect(\frac{t}{\tau })\leftrightarrow {\tau }^2\sin c^2(\tau f)$

(3)故$\tau \mathrm{\Lambda }(\frac{t}{\tau })\leftrightarrow {\tau }^2\sin c^2(\tau f)\iff \mathrm{\Lambda }(\frac{t}{\tau })\leftrightarrow \tau \sin c^2(\tau f)$

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系統的轉換函數(transfer function)

一線性非時變系統對輸入訊號 x(t) 的響應可表示為

其中h(t) 為系統的單位脈衝響應

將$y(t)=x(t)\ast h(t)$取傅立葉轉換可得：$Y(f)=X(f)H(f)$

其中$H(f)$ = $\mathrm{\Im }$ {$h(t)$}

H(f)稱為系統的轉換函數(transfer function) ；或稱為系統的頻率響應(frequency response) 。

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傅立葉轉換定理(10) —乘積定理(multiplication)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

$y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega ))$

則

$x(t)y(t)\leftrightarrow X(f)\ast Y(f)(\frac{1}{2\pi }{X}_{\omega }(\omega )\ast Y_{\omega }(\omega ))$

明顯的，乘積定理與旋積定理互為對偶定理。

【證明】︰

$\mathrm{\Im }$ {$x(t)y(t)$} = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)y(t)e^{-j2\pi ft}dt$ = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\lambda )e^{j2\pi \lambda t}dt]y(t)e^{-j2\pi ft}dt$ = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\lambda )[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)e^{-j2\pi (f-\lambda )t}dt]d\lambda$ = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\lambda )Y(f-\lambda )d\lambda$ = $X(f)\ast Y(f)$

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範例5.23

試求餘弦脈波函數(cosinusoidal pulse)

$x(t)=Arect(\frac{t}{\tau })\cos 2\pi f_{0}t$

的傅立葉轉換。

【解】

(1)已知$Arect(\frac{t}{\tau })\leftrightarrow A\tau \sin c(\tau f)$ $\cos (2\pi f_{0}t)\leftrightarrow \frac{1}{2}$ {$\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)$}

(2)依據乘積定理可知：

$X(f)$ = $\mathrm{\Im }$ {$x(t)$} = $\mathrm{\Im }$ {$Arect(fract\tau )$} * $\mathrm{\Im }$ {$\cos (2\pi f_{0}t)$} = $A\tau \sin c(\tau f)$ * $\frac{1}{2}$ {$\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)$}$(\Rightarrow f(x)\ast \delta (x\pm x_0)=f(x\pm x_0)$ = $\frac{A\tau }{2}$ {$\sin c[\tau (f-f_0)]+\sin c[\tau (f+f_0)]$}

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傅立葉轉換定理(11) —時域微分(time-domain differentiation)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

若 x(t) 可微分，則

$\frac{d^{n}x(t)}{d{t}^n}$$\leftrightarrow$$(j2\pi f{)}^{n}X(f)((j\omega {)}^n{X}_{\omega }(\omega ))$

在時域對 x(t) 作微分相當於在頻域乘上$(j2\pi f)$ 。由於$(j2\pi f)$的大小與頻率 f 成正比，故頻率越高的成分將會乘上越大的倍數。也就是說，微分的動作會對高頻有放大的效果。

時域微分定理與定理(4)乘上$t^n$定理互為對偶定理。

【證明】

(1)已知$x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)e^{j2\pi ft}df$

(2)等號兩邊分別對 t 微分：$\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)e^{j2\pi ft}df]$ = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)\frac{d}{dt}(e^{j2\pi ft})df$ = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f)(j2\pi f)e^{j2\pi ft}df$ = ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[(j2\pi f)X(f)]e^{j2\pi ft}df$

【證明】

(3)故$\frac{dx(t)}{dt}\leftrightarrow (j2\pi f)X(f)$

(4)重複上述步驟可得$\frac{d^{n}x(t)}{d{t}^n}\leftrightarrow (j2\pi f{)}^{n}X(f)$

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傅立葉轉換定理(12) —時域積分(time-domain integration)

已知：$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

則

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\lambda )d\lambda \leftrightarrow \frac{1}{j2\pi f}X(f)+X(0)\delta (0)$

$(\frac{1}{j\omega }{X}_{\omega }(\omega )+X_{\omega }(0)\delta (\omega ))$

在時域對 x(t) 作積分相當於在頻域除以$(j2\pi f)$，故積分會衰減訊號的高頻部份。

公式中，$X(0)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t),dt$。 若$X(0)=0$，則公式可簡化為：${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\lambda )d\lambda \leftrightarrow \frac{1}{j2\pi f}X(f)(\frac{1}{j\omega }{X}_{\omega }(\omega ))$

【證明】

(1)根據旋積運算的定義：$x(t)\ast u(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(\lambda )u(t-\lambda ),d\lambda ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\lambda )d\lambda$

(2)$\mathrm{\Im }$ {${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\lambda )d\lambda$ } = $\mathrm{\Im }$ {$x(t)\ast u(t)$}

【證明】︰

(3)根據旋積定理：$\mathrm{\Im }$ {${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\lambda )d\lambda$ } = $\mathrm{\Im }$ {$x(t)\ast u(t)$} = $\mathrm{\Im }$ {$x(t)$} $\mathrm{\Im }$ {$u(t)$} = $X(f)[\frac{1}{j2\pi f}+\frac{1}{2}\delta (f)]$ = $\frac{1}{j2\pi f}X(f)+\frac{1}{2}X(f)\delta (f)$ = $\frac{1}{j2\pi f}X(f)+\frac{1}{2}X(0)\delta (f)$

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範例5.24

試求下圖 x(t) 的傅立葉轉換。

【解法1】 (1)令$y(t)=\frac{dx(t)}{dt},z(t)=\frac{dy(t)}{dt}\Rightarrow x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}y(\lambda )d\lambda ,y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}z(\tau )d\tau$

(2)由上圖知：$z(t)=K[\delta (t+b)-\delta (t+a)-\delta (t-a)+\delta (t-b)]$

其中($K=\frac{dx(A)}{b-a}$)

故

$Z(f)$ = $\mathrm{\Im }$ {$z(t)$} = $K[e^{j2\pi fb}-e^{j2\pi fa}-e^{-j2\pi fa}+e^{-j2\pi fb}]$ = $2K[\cos 2\pi fb-\cos 2\pi fa]$

(3)根據時域積分定理：

$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}z(\tau )d\tau$

$\Rightarrow Y(f)=\frac{1}{j2\pi f}Z(f)+\frac{1}{2}Z(0)\delta (f)=2K[\frac{\cos 2\pi fb-\cos 2\pi fa}{j2\pi f}]+0=2K[\frac{\cos 2\pi fb-\cos 2\pi fa}{j2\pi f}]$

(4)因$x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}y(\lambda )d\lambda$，再一次利用時域積分定理：

$X(f)=\frac{1}{j2\pi f}Y(f)+\frac{1}{2}Y(0)\delta (f)=2K[\frac{\cos 2\pi fb-\cos 2\pi fa}{j2\pi f}]+0$$(\Rightarrow Y(0)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y(t)dt=0,\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta )$ = $2K\frac{(1-2{\sin }^2\pi fb)-(1-2{\sin }^2\pi fa)}{-(2\pi f{)}^2}$ = $K\frac{{\sin }^2\pi fb-{\sin }^2\pi fa}{(\pi f{)}^2}$ = K[ $b^2\sin c^2(fb)-a^2\sin c^2(fa)$ ]

【解法2】

(1)由圖可知：$X(t)=B\mathrm{\Lambda }(\frac{t}{b})-(B-A)\mathrm{\Lambda }(\frac{t}{a})$

其中$B=\frac{Ab}{(b-a)}$

(2)故$X(f)$ = $\mathrm{\Im }$ {$x(t)$} = B$\mathrm{\Im }$ {$\mathrm{\Lambda }(\frac{t}{b})$} - $(B-A)$$\mathrm{\Im }$ {$\mathrm{\Lambda }(\frac{t}{a}$} = $Bb\sin c^2(bf)-(B-A)a\sin c^2(af)$