傅立葉轉換定理(1) —線性(linearity)
[編輯]也稱作重疊定理(superposition)
已知：
則對於任意實數或複數常數a，b
證明
![{\displaystyle \Im a\chi (t)+by(t)=\int _{-\infty }^{\infty }[a\chi (t)+by(t)]e^{-j2\pi ft}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41aefdd0010f1b00a1c955285cb0d05830976734)
=
=
＃
試求
的傅立葉轉換。
解
(尤拉公式)
依傅立葉轉換的線性定理知
©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。
=
=
=
由前面範例知
=
試求單位步階函數u(t)的傅立葉轉換。
【解】
© Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.
(1)由上圖知：![{\displaystyle u(t)={\frac {1}{2}}[1+\operatorname {sgn}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9398d906ac16a9d2d81b651de213447ac2640613)
(2)已知
(3)故![{\displaystyle \Im {u(t)}={\frac {1}{2}}[\Im {1}+\Im {\operatorname {sgn}(t)}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc5545c6ebf4e8c8b52d09e657ce45edfc49cdc)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[\delta (f)+{\frac {1}{j\pi f}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2573d666de5de77abd453163095a38c4131b029)
© G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)
[編輯]已知：
則：
信號在時域的時間參數t做等比例放大或縮小a倍，此程序在頻域的頻率參數f 縮小或放大
倍，同時振幅大小也縮小或放大\frac{1}{\mid1\mid}倍。訊號在時間軸壓縮
則其頻譜會擴張；反之，信號在時間擴張 
則其頻譜會壓縮。
傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)
[編輯]【證明】(1) a>0
令
(2) a<0
#
試繪出
與
之頻譜。
【解】
© G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.
傅立葉轉換原理(3.)—時間反轉(time reversal)
[編輯]已知：
則
明顯的，此定理為時間比例調整定理的特例。
訊號在時域的時間參數 t 反轉造成在頻域的頻率參數 f 也反轉。
若
為實數，則
試求
之傅立葉轉換。
【解】(1)
=
其中
明顯的，
故
(2)由前面範例可知：
(3)
線性定理
=
=
=
=
© B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.
傅立葉轉換定理(4) —乘上
[編輯]已知：
則
【證明】證明n=1的情形：
(1)依傅立葉轉換的公式：
(2)等號兩邊對f微分
=![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)[{\frac {d}{df}}e^{-j2\pi ft}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4abb47adb77bdba5b5d6b5f776c2176f2acff7a)
=![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)-j2\pi te^{-j2\pi ft}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2625deee7053013004c7e1e2c4e5cbbfe615aa4c)
=![{\displaystyle (-j2\pi )\int _{-\infty }^{\infty }[t\chi (t)]e^{-j2\pi ft}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7add2024cb98e31c38bc41e8b2a470e8429a221c)
=
故
試求下圖x(t)的傅立葉轉換。
© Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.
【解】
(1)=(t) rect
(2)已知
{rect}=2sinc(2f) (2sa(
))
(3)故 {}= {t rect}
=
((j)
)
=j
(j2
)
© Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.
已知：
則
明顯的，當x(t)為實數時，
故
即
【證明】
=[
]*
=![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\chi ^{*}(t)e^{-j2\pi ft}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559dbab2eb8c56e3f1cbc944cd21421883253b8e)
= {
}
傅立葉轉換定理(6) —對偶性(duality)
[編輯]已知：
則
【證明】】
變數t與f互換
=
= {
}
試求的傅立葉轉換。
【解】：(1)已知
=rect(
)
sinc(
)
(2)依據對偶性知：
sinc(
)
=rect(
)=rect(
)rect為偶函數
(3)將上式
用2W代可得
=2Wsinc(2Wt) =rect(
)
© Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.
傅立葉轉換定理(7) —時移(time shift)
[編輯]已知：
X(T)
x(f) 
則
訊號在時間軸上平移(訊號超前或延遲)在頻域的效果相當於在原訊號的相位頻譜加上一個線性變化量
，此變化量稱為傅立葉轉換X(f)的線性相位平移(linear phase shift) 。
{
} =
=
令
=
=
已知 {
} = 1，試求
的傅立葉轉換。
【解】
{} =
{} =
=
重複範例5.4，試求
的傅立葉轉換。
【解】：
(1)已知
(2)根據時移定理知:
=
=
(3)故
{
} = {
} - {} =![{\displaystyle \sin c(f)[e^{j\pi f}-e^{-j\pi f}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad75dc0e25c85101d6ece2701214f862b88d6ea)
=
=
=
由時移定理知，對於
時間的延遲將會造成
的相移，此一相移量與頻率 f 成正比。也就是說，針對時間的延遲，訊號的高頻成分會有較大的相位移，而低頻部分則相移較小。
傅立葉轉換定理(8) —頻移(frequency shift)
[編輯]已知：
則
訊號在時域乘上ㄧ複指數訊號
，在頻域的效果相當於訊號的頻譜在頻率軸上平移
。
頻移定理與時移定理互為對偶定理。
【證明】
{
} =![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{j2\pi f_{0}t}]e^{-j2\pi ft}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4177867d86fc0265c130a1876d5b936f77cf6ee)
==![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{-j2\pi (f-f_{0})t}]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3151c245fefa557fb4bd2da2be5e131f5760a6)
=
範例5.19—調變原理(modulation)
[編輯]已知
，試求(a)
(b)
的傅立葉轉換。
【解】 (a)
(1) =
=![{\displaystyle {\frac {1}{2}}[x(t)^{j2\pi f_{0}t}+x(t)^{-j2\pi f_{0}t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b0afc3b91fd29471d1a609541b336b2cd9b7e7)
(2) {
} =
{}+ {
}] =
{
}
(b)
(1)
=
=![{\displaystyle {\frac {1}{2j}}[x(t)^{j2\pi f_{0}t}-x(t)^{-j2\pi f_{0}t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1326ffd39de8f23eea6618fa85ceb318b4ea8f)
(2) {
} =
{
}
試求
=
的傅立葉轉換。
【解】 已知 
故
= {} =![{\displaystyle \sin c[2(f-10)]+\sin c[2(f+10)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8854d630edbbec0702cebb10247288df1d9bb2)
傅立葉轉換定理(9) —旋積定理(convolution)
[編輯]已知：
則
=
兩個訊號在時域做旋積運算相當於此二訊號在頻域相乘。
【證明】︰
(1)令
= {
} =![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )y(t-\lambda )\,d\lambda ]e^{-j2\pi ft}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528b3c27c68b45d69f9be1eeb31d4847ad4c3bd8)
交換積分順序![{\displaystyle \Rightarrow Z(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )[\int _{-\infty }^{\infty }y(t-\lambda )e^{-j2\pi ft}dt]\,d\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb04200cf7453de0bccc1dc3e1e603cb1a65aad)
【證明】
(2)根據時移定理：
(3)故![{\displaystyle Z(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )Y(f)e^{-j2\pi f\lambda }\,d\lambda =[\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )e^{-j2\pi f\lambda }\,d\lambda ]Y(f)=X(f)Y(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0bb0d90353aa41302dc0e06a568dd1483735e7)
試求方波
自己做旋積運算後的傅立葉轉換。
【解】
(1)已知
(2)令
根據旋積定理知：
= {
} = {
} = 
= 
定義：
= 
試求其傅立葉轉換。
【解】
(1)根據旋積運算公式及三角波的定義知：
(2)又由範例5.21可知：：
(3)故
系統的轉換函數(transfer function)
[編輯]一線性非時變系統對輸入訊號 x(t) 的響應可表示為
其中h(t) 為系統的單位脈衝響應
將
取傅立葉轉換可得：
其中
= {
}
H(f)稱為系統的轉換函數(transfer function) ；或稱為系統的頻率響應(frequency response) 。
傅立葉轉換定理(10) —乘積定理(multiplication)
[編輯]已知：
則
明顯的，乘積定理與旋積定理互為對偶定理。
【證明】︰
{
} = 
= ![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{j2\pi \lambda t}dt]y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ada41ba0f58d386c696098cf41818dea7ad61bd)
= ![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )[\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j2\pi (f-\lambda )t}dt]d\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ea6306668b110a28ee9a0b309038fde2e53b28)
= 
= 
試求餘弦脈波函數(cosinusoidal pulse)
的傅立葉轉換。
【解】
(1)已知
{
}
(2)依據乘積定理可知：
= {} = {
} * {
} = 
* {}
= 
{![{\displaystyle \sin c[\tau (f-f_{0})]+\sin c[\tau (f+f_{0})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a84146aea3523637fd160a93d40d0cbbe25107)
}
傅立葉轉換定理(11) —時域微分(time-domain differentiation)
[編輯]已知：
若 x(t) 可微分，則
在時域對 x(t) 作微分相當於在頻域乘上
。由於的大小與頻率 f 成正比，故頻率越高的成分將會乘上越大的倍數。也就是說，微分的動作會對高頻有放大的效果。
時域微分定理與定理(4)乘上定理互為對偶定理。
【證明】
(1)已知
(2)等號兩邊分別對 t 微分：![{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}[\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f464e2696dfed176e70706a2e22e8220579b44)
= 
= 
= ![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }[(j2\pi f)X(f)]e^{j2\pi ft}\,df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f54e63715c6a839598b854ca6b4aa99c3498410)
【證明】
(3)故
(4)重複上述步驟可得
傅立葉轉換定理(12) —時域積分(time-domain integration)
[編輯]已知：
則
在時域對 x(t) 作積分相當於在頻域除以，故積分會衰減訊號的高頻部份。
公式中，
。 若
，則公式可簡化為：
【證明】
(1)根據旋積運算的定義：
(2) {
} = {
}
【證明】︰
(3)根據旋積定理： { } = {} = {} {
} = ![{\displaystyle X(f)[{\frac {1}{j2\pi f}}+{\frac {1}{2}}\delta (f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea13fbdaaed3e1fe02718473cd837452b5559904)
= 
= 
試求下圖 x(t) 的傅立葉轉換。
【解法1】
(1)令
(2)由上圖知：![{\displaystyle z(t)=K[\delta (t+b)-\delta (t+a)-\delta (t-a)+\delta (t-b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854a76b54d949a6d91a3ebc97b9ad562760da29f)
其中(
)
故
= {} = ![{\displaystyle K[e^{j2\pi fb}-e^{j2\pi fa}-e^{-j2\pi fa}+e^{-j2\pi fb}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08130f883d0571360cfa337afc0807aef69b5ee6)
= ![{\displaystyle 2K[\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6932169ba41354faf422bd9a101ee286d670cf)
(3)根據時域積分定理：
![{\displaystyle \Rightarrow Y(f)={\frac {1}{j2\pi f}}Z(f)+{\frac {1}{2}}Z(0)\delta (f)=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]+0=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edd4f1edf13c7edeb8317e185f60c41ba159c81)
(4)因
，再一次利用時域積分定理：
![{\displaystyle X(f)={\frac {1}{j2\pi f}}Y(f)+{\frac {1}{2}}Y(0)\delta (f)=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]+0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cb92ea8bdaa610ace1696554eb382e29f6c156)
= 
= 
= K[ 
]
【解法2】
(1)由圖可知：
其中
(2)故 = {} = B {
} - 
{
} = 
