高中数学（版聊式）/第3节：导数的计算

最初导数的计算都是来源于导数的定义。用定义法求导数是最基本的方法。

初等函数的导数的推导并不需要掌握，能看懂即可。并且导数的定义计算可能要涉及一些极限的计算，会略有纠结。有关极限的内容，请参照补充内容：极限的基本运算。

我们首先看简单一点的函数$y=c$(常数)。

根据定义，$f'(x)=c-c=0$。

即常数函数的变化率始终为0，这也是符合我们的认知的。

对于稍微复杂一些的函数 $y=x^{2}$ 有

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\cdot \Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x$

也就是说当x逐渐增大时，y的变化率（增长速度）一直在增大。这也是符合我们的认知的。

初等函数中更为复杂一些的函数如$y=\sin x$, 有

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin x\cos \Delta x+\cos x\sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}}\\&=\sin x\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos \Delta x-1}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos x\sin \Delta x}{\Delta x}}=\cos x\end{aligned}}$

为了方便，今后我们可以直接使用下面的导数公式表

• 若$f(x)=c$，则$f'(x)=0$
• 若$f(x)=x^{a}$，则$f'(x)=ax^{a-1}$
• 若$f(x)=\sin(x)$，则$f'(x)=\cos(x)$
• 若$f(x)=\cos(x)$，则$f'(x)=-\sin(x)$
• 若$f(x)=a^{x}$，则$f'(x)=a^{x}\ln(a)$
• 若$f(x)=\mathrm {e} ^{x}$，则$f'(x)=\mathrm {e} ^{x}$
• 若$f(x)=\log _{a}(x)$，则$f'(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}$
• 若$f(x)=\ln(x)$，则$f'(x)={\frac {1}{x}}$

同时，对于函数的导数，还有如下公式：

• $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)+g'(x)$

• $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

• $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$ (g(x)≠0)

对于复合函数，有链式法则：

$f[g(x)]'=f'[g(x)]\cdot g'(x)$

下面将举几个例子。

例：求下列函数的导数。

(1). $f(x)=x^{3}-2x+3$；

(2). $f(x)=3x^{2}e^{x}$；

(3). $f(x)=\ln(x+2)$；

(4). $f(x)=\sin(\pi x+\varphi )$。

解：(1). 根据复合函数求导法则，$f'(x)=(x^{3})'-(2x)'+(3)'=3x^{2}-2$。

(2). 令$f(x)=3x^{2}$，$g(x)=e^{x}$， 则$f'(x)=6x\cdot e^{x}+3x^{2}\cdot e^{x}=3xe^{x}(x+2)$。

(3). 显然这是复合函数。令$u=x+2$，则$f'(x)=[ln(u)]|_{u=x+2}\cdot (x+2)'={\frac {1}{x+2}}$。

(4). 令$u=\pi x+\varphi$，则$f'(x)=\cos(\pi x+\varphi )\cdot \pi$。