高中数学（版聊式）/第3节：导数的计算

最初导数的计算都是来源于导数的定义。用定义法求导数是最基本的方法。

初等函数的导数的推导并不需要掌握，能看懂即可。并且导数的定义计算可能要涉及一些极限的计算，会略有纠结。有关极限的内容，请参照补充内容：极限的基本运算。

我们首先看简单一点的函数$y=c$(常数)。

根据定义，$f^{\prime }(x)=c-c=0$。

即常数函数的变化率始终为0，这也是符合我们的认知的。

对于稍微复杂一些的函数 $y=x^2$ 有

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{x^2+2x\cdot \mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(2x+\mathrm{\Delta }x)=2x$

也就是说当x逐渐增大时，y的变化率（增长速度）一直在增大。这也是符合我们的认知的。

初等函数中更为复杂一些的函数如$y=\sin x$, 有

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin (x+\mathrm{\Delta }x)-\sin (x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin x\cos \mathrm{\Delta }x+\cos x\sin \mathrm{\Delta }x-\sin x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\sin x\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos \mathrm{\Delta }x-1}{\mathrm{\Delta }x}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos x\sin \mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos x\sin \mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=\cos x\end{array}$

为了方便，今后我们可以直接使用下面的导数公式表

• 若$f(x)=c$，则$f^{\prime }(x)=0$
• 若$f(x)=x^a$，则$f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$
• 若$f(x)=\sin (x)$，则$f^{\prime }(x)=\cos (x)$
• 若$f(x)=\cos (x)$，则$f^{\prime }(x)=-\sin (x)$
• 若$f(x)=a^x$，则$f^{\prime }(x)=a^x\ln (a)$
• 若$f(x)={\mathrm{e}}^x$，则$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$
• 若$f(x)={\log }_a(x)$，则$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln (a)}$
• 若$f(x)=\ln (x)$，则$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

同时，对于函数的导数，还有如下公式：

• $[f(x)\pm g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

• $[f(x)\cdot g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$

• ${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$ (g(x)≠0)

对于复合函数，有链式法则：

$f[g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }[g(x)]\cdot g^{\prime }(x)$

下面将举几个例子。

例：求下列函数的导数。

(1). $f(x)=x^3-2x+3$；

(2). $f(x)=3x^2{e}^x$；

(3). $f(x)=\ln (x+2)$；

(4). $f(x)=\sin (\pi x+\phi )$。

解：(1). 根据复合函数求导法则，$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }-(2x{)}^{\prime }+(3{)}^{\prime }=3x^2-2$。

(2). 令$f(x)=3x^2$，$g(x)=e^x$， 则$f^{\prime }(x)=6x\cdot e^x+3x^2\cdot e^x=3x{e}^x(x+2)$。

(3). 显然这是复合函数。令$u=x+2$，则$f^{\prime }(x)=[ln(u)]{|}_{u=x+2}\cdot (x+2{)}^{\prime }=\frac{1}{x+2}$。

(4). 令$u=\pi x+\phi$，则$f^{\prime }(x)=\cos (\pi x+\phi )\cdot \pi$。