高中數學（版聊式）/第3節：導數的計算

最初導數的計算都是來源於導數的定義。用定義法求導數是最基本的方法。

初等函數的導數的推導並不需要掌握，能看懂即可。並且導數的定義計算可能要涉及一些極限的計算，會略有糾結。有關極限的內容，請參照補充內容：極限的基本運算。

我們首先看簡單一點的函數 $y = c$ (常數)。

根據定義， $f^{'} (x) = c - c = 0$ 。

即常數函數的變化率始終為0，這也是符合我們的認知的。

對於稍微複雜一些的函數 $y = x^{2}$ 有

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x)^{2} - x^{2}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x \cdot Δ x + (Δ x)^{2} - x^{2}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) = 2 x

也就是說當x逐漸增大時，y的變化率（增長速度）一直在增大。這也是符合我們的認知的。

初等函數中更為複雜一些的函數如 $y = \sin x$ , 有

\begin{matrix} f^{'} (x) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin (x + Δ x) - \sin (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin x \cos Δ x + \cos x \sin Δ x - \sin x}{Δ x} \\ = \sin x \cdot lim_{Δ x \to 0} \frac{\cos Δ x - 1}{Δ x} + lim_{Δ x \to 0} \frac{\cos x \sin Δ x}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\cos x \sin Δ x}{Δ x} = \cos x \end{matrix}

為了方便，今後我們可以直接使用下面的導數公式表

同時，對於函數的導數，還有如下公式：

${[\frac{f (x)}{g (x)}]}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$ (g(x)≠0)

對於複合函數，有鏈式法則：

f [g (x)]^{'} = f^{'} [g (x)] \cdot g^{'} (x)

下面將舉幾個例子。

例：求下列函數的導數。

(1). $f (x) = x^{3} - 2 x + 3$ ；

(2). $f (x) = 3 x^{2} e^{x}$ ；

(3). $f (x) = \ln (x + 2)$ ；

(4). $f (x) = \sin (π x + φ)$ 。

解：(1). 根據複合函數求導法則， $f^{'} (x) = (x^{3})^{'} - (2 x)^{'} + (3)^{'} = 3 x^{2} - 2$ 。

(2). 令 $f (x) = 3 x^{2}$ ， $g (x) = e^{x}$ ，則 $f^{'} (x) = 6 x \cdot e^{x} + 3 x^{2} \cdot e^{x} = 3 x e^{x} (x + 2)$ 。

(3). 顯然這是複合函數。令 $u = x + 2$ ，則 $f^{'} (x) = [l n (u)] |_{u = x + 2} \cdot (x + 2)^{'} = \frac{1}{x + 2}$ 。

(4). 令 $u = π x + φ$ ，則 $f^{'} (x) = \cos (π x + φ) \cdot π$ 。