高中數學(版聊式)/第3節:導數的計算
外觀
最初導數的計算都是來源於導數的定義。用定義法求導數是最基本的方法。
初等函數的導數的推導並不需要掌握,能看懂即可。並且導數的定義計算可能要涉及一些極限的計算,會略有糾結。有關極限的內容,請參照補充內容:極限的基本運算。
我們首先看簡單一點的函數(常數)。
根據定義,。
即常數函數的變化率始終為0,這也是符合我們的認知的。
對於稍微複雜一些的函數 有
也就是說當x逐漸增大時,y的變化率(增長速度)一直在增大。這也是符合我們的認知的。
初等函數中更為複雜一些的函數如, 有
為了方便,今後我們可以直接使用下面的導數公式表
- 若,則
- 若,則
- 若,則
- 若,則
- 若,則
- 若,則
- 若,則
- 若,則
同時,對於函數的導數,還有如下公式:
- (g(x)≠0)
對於複合函數,有鏈式法則:
下面將舉幾個例子。
例:求下列函數的導數。
(1). ;
(2). ;
(3). ;
(4). 。
解:(1). 根據複合函數求導法則,。
(2). 令,, 則。
(3). 顯然這是複合函數。令,則。
(4). 令,則。