# 高中数学/向量与复数/复数与三角学

## 基础知识

### 知识引入

${\displaystyle z=|z|\cdot {\frac {z}{|z|}}=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )}$

### 复数的三角形式

${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\quad (r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} )}$

• 2个复数的实数与虚部对应相等。
• 2个非零复数的模与幅角主值对应相等。

${\displaystyle Arg(z)=atan2(Im(z),Re(z))=\left\{{\begin{array}{l}{\frac {Im(z)}{Re(z)}}&(Re(z)\neq 0)\\0&(Re(z)=0)\end{array}}\right.}$

(1) ${\displaystyle r(-\cos \theta +i\sin \theta )}$[3]
(2) ${\displaystyle r(-\cos \theta -i\sin \theta )}$[3]
(3) ${\displaystyle r(\cos \theta -i\sin \theta )}$[3]
(4) -4 + 4i；
(5) ${\displaystyle 2-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}i}$

(1) ${\displaystyle z+{\bar {z}}=2Re(z)}$
(2) ${\displaystyle z-{\bar {z}}=2Im(z)}$
(3) ${\displaystyle Re(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}}$[4]
(4) ${\displaystyle Re(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}}$[4]
(5) ${\displaystyle |z|^{2}=(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}$

### 复数乘法的几何意义

(1) ${\displaystyle r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})\cdot r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}))}$
(2) ${\displaystyle {\frac {r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})}{r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}-\theta _{2}))}$

• 乘法：${\displaystyle r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})\cdot r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}))}$
• 除法：${\displaystyle {\frac {r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})}{r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}-\theta _{2}))}$

z和${\displaystyle {\bar {z}}}$分别表示从原点出发的关于实轴镜像对称的2个向量。它们的向量和是菱形的对角线，分布在实轴上。设z和${\displaystyle {\bar {z}}}$的幅角大小分别为${\displaystyle \theta _{z}}$${\displaystyle \theta _{\bar {z}}}$，则${\displaystyle \theta _{\bar {z}}=\theta {z}}$。将从原点出发、朝向${\displaystyle \theta _{z}}$的终边方向的向量绕原点旋转${\displaystyle \theta }$后，肯定会落在实轴上。所以${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}}$的结果一定为实数。不难验证有${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}=x^{2}+y^{2}}$成立。[3]

### 复数的开方与单位根

1的每一个${\displaystyle n(n\in \mathbb {N} ^{+})}$次方根，都称为1个n次单位根，简称单位根[5]

• 如果某角度为圆周角的${\displaystyle n(n\in \mathbb {N} ^{*})}$分之一，复数在复平面上绕此角度的多次旋转具有周期性的取值。
• 1的n次方根，构成了单位圆上的n等分点，并且至少有一个根是z = 1。[3]
• 1的2n次方根，至少有一个根是z = 1。[3]

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}})\quad (k\in \mathbb {Z} ,0\leq k\leq n-1)}$

### 棣莫弗公式与欧拉公式

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\begin{array}{c}&n&\\z^{n}&=\overbrace {z\cdot z\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z} &=(z\cdot z)\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\\end{array}}\\=((\cos \theta +i\sin \theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos \theta \cdot \cos \theta +\cos \theta \cdot (i\sin \theta )+(i\sin \theta )\cdot \cos \theta +(i\sin \theta )\cdot (i\sin \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos \theta \cos \theta +i\cos \theta \sin \theta +i\sin \theta \cos \theta +i^{2}\sin \theta \sin \theta )\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta )+i(\cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos(\theta +\theta )+i\sin(\theta +\theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta \cdot \cos \theta +\cos 2\theta \cdot (i\sin \theta )+(i\sin 2\theta )\cdot \cos \theta +(i\sin 2\theta )\cdot (i\sin \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta \cos \theta +i\cos 2\theta \sin \theta +i\sin 2\theta \cos \theta +i^{2}\sin 2\theta \sin \theta )\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta )+i(\cos 2\theta \sin \theta +\sin 2\theta \cos \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos(2\theta +\theta )+i\sin(2\theta +\theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 3\theta +i\sin 3\theta )\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )\cdot ...\cdot z\\\cdots \\=(\cos((n-1)\theta )+i\sin((n-1)\theta ))\cdot z\\=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{array}}}$

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}})\quad (k\in \mathbb {Z} ,0\leq k\leq n-1)}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}f(n)=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}\\=A(r(\cos \theta +i\sin \theta ))^{n}+B(r(\cos \theta -i\sin \theta ))^{n}\\=Ar^{n}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+Br^{n}(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\\=Ar^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )+Br^{n}(\cos(-\theta )+i\sin(-\theta ))^{n}\\=Ar^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )+Br^{n}(\cos(-n\theta )+i\sin(-n\theta ))\\=Ar^{n}\cos n\theta +Air^{n}\sin n\theta )+Br^{n}\cos(-n\theta )+Bir^{n}\sin(-n\theta )\\=(Ar^{n}\cos n\theta +Br^{n}\cos(-n\theta ))+(Air^{n}\sin n\theta )+Bir^{n}\sin(-n\theta ))\\=(Ar^{n}\cos n\theta +Br^{n}\cos n\theta )+(Air^{n}\sin n\theta )-Bir^{n}\sin n\theta )\\=(A+B)r^{n}\cos n\theta +(A-B)ir^{n}\sin n\theta \\=r^{n}((A+B)\cos n\theta +(A-B)i\sin n\theta )\end{array}}}$

${\displaystyle f(n)=r^{n}(C\cos n\theta +Di\sin n\theta )}$

（提示：为利用到棣莫弗公式，应该先将${\displaystyle 1\pm i}$分别写成复数的三角形式${\displaystyle {\sqrt {2}}(\cos {\frac {\pi }{4}}+i\sin {\frac {\pi }{4}})}$，通项的最终化简结果为${\displaystyle a_{n}=({\sqrt {2}})^{n}(C\cos {\frac {n\pi }{4}}+D\sin {\frac {n\pi }{4}})\quad (C,D\in \mathbb {R} )}$。）

${\displaystyle e^{xi}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle e^{z}:=e^{a+bi}=e^{a}\cdot e^{bi}}$

• ${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} )}$
• 欧拉恒等式：${\displaystyle e^{\pi i}+1=0}$
• 复指数函数${\displaystyle e^{z}\quad (z\in \mathbb {C} )}$是周期函数。[8]

${\displaystyle z=re^{\theta i}\quad (r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} )}$

• ${\displaystyle \sin z:={\frac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}\quad (z\in \mathbb {C} )}$
• ${\displaystyle \cos z:={\frac {e^{zi}+e^{-zi}}{2i}}\quad (z\in \mathbb {C} )}$

(1) 奇偶性；
(2) 单调性；
(3) 周期性。

## 常见结论与常见模型

### 数形结合问题

（出自：1992年中国大陆高考理科数学试卷第15题。）

## 参考资料

1. 人民教育出版社中学数学室. 第4章“数系的扩充——复数”中“研究性学习课题”部分“复数与平面向量、三角函数的联系”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第3册 (选修2) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 157–158. ISBN 7-107-17448-7 （中文（中国大陆））.
2. 岑爱国. 第2讲“复数及其运算的几何意义”. (编) 沈国明 (责任编辑). 复数与多项式. 高中数学竞赛专题讲座 1. 中国杭州天目山路148号: 浙江大学出版社. 2007: 11. ISBN 978-7-308-05379-2 （中文（中国大陆））.
3. 孙维刚. 第2篇“高中数学各章学习指要”第2部分“高中代数”第11章“复数”. (编) 温丹丹. 孙维刚高中数学. 名家导学系列 1. 中国北京市海淀区中关村北京大学校内: 北京大学出版社. 2005: 135–138. ISBN 7-301-08497-8 （中文（中国大陆））.
4. 岑爱国. 第1讲“复数的概念与运算”. (编) 沈国明 (责任编辑). 复数与多项式. 高中数学竞赛专题讲座 1. 中国杭州天目山路148号: 浙江大学出版社. 2007: 1–2. ISBN 978-7-308-05379-2 （中文（中国大陆））.
5. 岑爱国. 第4讲“单位根及其应用”. (编) 沈国明 (责任编辑). 复数与多项式. 高中数学竞赛专题讲座 1. 中国杭州天目山路148号: 浙江大学出版社. 2007: 33. ISBN 978-7-308-05379-2 （中文（中国大陆））.
6. （英文）Anna Schoening（2012年）．Section 6.5, Trigonometric Form of a Complex Number（pdf）．University of Utah
7. 蔡小雄. 第4章“用竞赛策略优化高考解题”第4.1节“熟悉递推方法”第4.1.2小节“待定系数法”. (编) 董德耀; 沈国明. 更高更妙的高中数学思想与方法 1. 中国杭州天目山路148号: 浙江大学出版社. 2009: 238. ISBN 978-7-308-06993-9 （中文（中国大陆））.
8. 钟玉泉. 第2章“解析函数”第2节“初等解析函数”. (编) 王瑜 (策划编辑); 丁鹤龄 (责任编辑). 复变函数论. 朱慧芳 (责任校对) 1. 中国北京市西城区德外大街4号: 高等教育出版社. 2004: 58–64. ISBN 7-04-012943-4 （中文（中国大陆））.
9. Richard Feynman; Robert B. Leighton; Matthew Sands. Algebra. The Feynman Lectures on Physics (HTML) 1. Michael A. Gottlieb (在线版制作者); Rudolf Pfeiffer (在线版制作者). 加州理工学院. 2013年 [2021年11月14日] （英语）. So there is a connection, ultimately, between algebra and geometry. We summarize with this, the most remarkable formula in mathematics: e^(iθ) = cos θ + i sin θ. This is our jewel.