高中數學/向量與複數/複數與三角學

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

預備知識

閱讀本節內容需要了解複數的基本定義與代數形式的四則運算法則和三角函數的基本概念。本節要介紹的棣莫弗公式的證明需要用到兩角和與差的三角函數公式。

考試要求

首先要熟悉複數的三角函數形式的含義，包括實部、虛部和幅角（主值）之間的固定關係式。注意有時候要學會將非標準的三角形式化簡為標準的三角形式。其次應該了解複數乘法和除法的幾何意義。在複數範圍內開高次方是進階的知識，雖然在本節提到的特殊情形下（對正負數開n次方）的具體做法並不複雜，但是常規中學考試基本上不會考。

棣莫弗公式在一般的高中教科書中只是有所提及其名字，幾乎不可能考。歐拉公式由於牽涉到微積分學知識也不太可能被納入中學常規考試範圍。不過只是由於棣莫弗公式和歐拉公式在後續課程中的地位過於重要，我們仍將其列為基礎知識。

基礎知識

知識引入

在平面上指定橫、縱位置可以確定一個點，通過到一個固定參考點的距離和相對於某個軸向的偏轉角也可以確定一個點。

單位復向量的終點均落在單位圓的圓周上。如果模仿三角函數的單位圓定義，將非零復向量與x軸正方向的夾角大小記為$\theta$，由三角函數的定義可知，每一個單位復向量可以表示為$\cos \theta +i\sin \theta$的形式。

對於每一個非零向量z，當長度變為原來的${\frac {1}{|z|}}$倍後也成為單位向量，所以能寫成如下的形式：
$z=|z|\cdot {\frac {z}{|z|}}=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$

複數的三角形式

每一個複數可以表示為如下的三角形式（trigonometric form）：

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\quad (r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} )$

其中的$\theta$叫做複數z的幅角（argument）。很多時候只希望將幅角的範圍限定在$[0,2\pi )$中，這種幅角叫做輻角主值（principal value of the argument）或主幅角，記為Arg(z)。

每一個非零的複數都具有唯一的三角形式，即具有唯一的r和$\theta$與之對應。

特別地，單位復向量$\cos \theta +i\sin \theta$在複平面上表示以原點為圓心、1為半徑的圓（單位圓）上的點。

注意：(1)幅角主值的規定是$[0,2\pi )$，保證了一個複數和它幅角主值的一一對應。(2)複數表示為三角形式$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$時，要求$r\in \mathbb {R} ,r\geq 0$，且注意其中的正餘弦必須是針對同一個角。

注意：在有的專著中，為方便同時討論普通幅角和主幅角（即幅角主值），會將普通幅角記為小寫的arg()，主幅角記為大寫開頭的Arg()。高中階段的數學書一般只強調幅角主值，其中的arg()符號一般也僅是指幅角主值。

提示：複數的三角形式使用的其實是平面上點的位置或向量的另一種表示方式，叫做極坐標形式（polar form）。在極坐標的坐標系中，也有原點和一個叫做極軸的射線作為參考方向。點或向量的極坐標仍然由有序排列的2個數組成：第1個數代表點距離原點的距離或對應向量的長度，叫做極徑；第2個數代表非零向量與橫坐標軸正方向的夾角（對原點或零向量則有單獨規定），叫做極角。

滿足$Arg(z)=\theta \quad (0<\theta <2\pi )$的複數z對應的點的軌跡是以原點為端點的一條射線。

引入幅角的概念後，我們判斷複數相等的方法也增加了。判斷複數相等的方法包括：

• 2個複數的實數與虛部對應相等。
• 2個非零複數的模與幅角主值對應相等。

藉助atan2()函數或反三角函數，複數的幅角主值、實部、虛部有以下關係：
$Arg(z)=atan2(Im(z),Re(z))=\left\{{\begin{array}{l}{\frac {Im(z)}{Re(z)}}&(Re(z)\neq 0)\\0&(Re(z)=0)\end{array}}\right.$

相關例題1： 已知i是虛數單位，將下列複數的表達式化為複數的標準三角形式：

(1) $r(-\cos \theta +i\sin \theta )$；

(2) $r(-\cos \theta -i\sin \theta )$；

(3) $r(\cos \theta -i\sin \theta )$；

(4) -4 + 4i；

(5) $2-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}i$。

複數z的實部可以用記號記為Re(z)，虛部可以記為Im(z)。知道了一個複數，等價於同時知道了Re(Z)和Im(Z)，也等於同時知道了|z|和Arg(z)。

相關例題2： 已知i是虛數單位，求證下列常見關係式：

(1) $z+{\bar {z}}=2Re(z)$

(2) $z-{\bar {z}}=2Im(z)$

(3) $Re(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$

(4) $Re(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$

(5) $|z|^{2}=(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}$

複數乘法的幾何意義

利用三角函數中兩角和與差的運算法則，三角形式下的複數乘除法有專門的公式。

相關例題1： 已知i是虛數單位，求證複數三角形式的乘除法運算公式。

(1) $r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})\cdot r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}))$

(2) ${\frac {r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})}{r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}-\theta _{2}))$

從幾何上看，將任何一個非零複數乘以$\cos \theta +i\sin \theta$，等價於在複平面內把這個複數對應的向量逆時針旋轉$\theta$；將任何一個複數除以$\cos \theta +i\sin \theta$，等價於在複平面內把這個複數對應的向量順時針旋轉$\theta$。特別地，乘以或除以i，就是分別將複平面上的向量沿逆時針或順時針方向旋轉90度。

而將任何一個非零複數乘以或除以其它非零複數，等價於在進行旋轉的同時，也進行了長度的伸縮。

我們將規律總結如下：

在三角形式下，複數的乘除法滿足以下規律：

• 乘法：$r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})\cdot r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}))$
• 除法：${\frac {r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})}{r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}-\theta _{2}))$

將任何非零一個複數$z_{0}$乘以另一個非零複數$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\quad (r>0)$，等價於在複平面內把這個複數$z_{0}$對應的向量逆時針旋轉$\theta$，再將長度變為原來的r = |z|倍；將任何一個複數除以$\cos \theta +i\sin \theta$，等價於在複平面內把這個複數對應的向量順時針旋轉$\theta$，再將長度變為原來的${\frac {1}{r}}={\frac {1}{|z|}}$倍。

z和${\bar {z}}$分別表示從原點出發的關於實軸鏡像對稱的2個向量。它們的向量和是菱形的對角線，分佈在實軸上。設z和${\bar {z}}$的幅角大小分別為$\theta _{z}$和$\theta _{\bar {z}}$，則$\theta _{\bar {z}}=\theta {z}$。將從原點出發、朝向$\theta _{z}$的終邊方向的向量繞原點旋轉$\theta$後，肯定會落在實軸上。所以$z\cdot {\bar {z}}$的結果一定為實數。不難驗證有$z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}=x^{2}+y^{2}$成立。

思考：如果要作類比的話，複數的乘法更像實向量的數乘還是點乘？

相關例題2： 已知$z_{1},z_{2},z_{3}$都是非零複數，$z_{1}\cdot z_{2}=z_{3},Arg(z_{1})={\frac {2\pi }{3}},Arg(z_{3})={\frac {5\pi }{3}}$，求$z_{2}$的幅角主值。

相關例題3： 已知i是虛數單位，$cis(z)=\cos z+i\sin z$，求$cis(z)\cdot cis(2z)\cdot cis(3z)\cdot \cdots \cdot cis(nz)$的值。

相關例題4： 已知i是虛數單位，求證：形如$z=\cos \theta +i\sin \theta$的複數與其共軛複數是倒數關係。

相關例題5： 已知i是虛數單位，$z=3\cos \theta +4i\sin \theta$，求${\bar {z}}^{6}$的共軛複數的表達式。

複數的開方與單位根

如果$x^{n}=z\quad (x,z\in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {N} ^{+})$，則x叫做z的n次方根。容易發現，對z的$n(n\in \mathbb {N} ^{+})$次方根的研究，實際上總是歸結為對1的n次方根的研究。

1的每一個$n(n\in \mathbb {N} ^{+})$次方根，都稱為1個n次單位根，簡稱單位根。

可以驗證：

• 如果某角度為圓周角的$n(n\in \mathbb {N} ^{*})$分之一，複數在複平面上繞此角度的多次旋轉具有周期性的取值。
• 1的n次方根，構成了單位圓上的n等分點，並且至少有一個根是z = 1。
• 1的2n次方根，至少有一個根是z = 1。

事實上，可以根據複數乘、除法的幾何意義，猜到任意非零複數z的n個n次方根都可以表示為：

$r^{\frac {1}{n}}(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}})\quad (k\in \mathbb {Z} ,0\leq k\leq n-1)$

思考：根據幾何意義猜測，負數的n次方根在複平面上的分佈規律是什麼樣的？

棣莫弗公式與歐拉公式

藉助虛數單位的幫助，某些以實數為變量的三角函數出現了新的運算規律。使用下面介紹的公式也能驗證剛才提到的任意非零複數z的n次方根公式。

亞伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）是法國知名的機率論學者。

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707年－1783年）是瑞士最著名的數學家，他的成就之廣使其幾乎統治了18世紀的數學發展。當然，也許會有人一直到大學畢業也不知道在數學、物理、工程力學許多公式里都可以見到的名字「Euler」指的是同一個人。這種成就遍佈多個一級學科、支配眾多學渣大學本科專業課的數學家到了20世紀就比較少了，少數很成功的跨界學術明星包括安德雷·柯爾莫哥洛夫和約翰·馮諾依曼。

如果您了解法語和德語的發音，就會發現這2個人的漢語譯名都比較偏離原文發音。可惡的是，我們只能尊重以前的譯名習慣，將錯就錯！

法國男人亞伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）發現了如下的棣莫弗公式（De Moivre's formula）： $(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx\quad (x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} )$

證明：套用n次三角形式的複數乘法公式即可證明棣莫弗公式：
${\begin{array}{l}{\begin{array}{c}&n&\\z^{n}&=\overbrace {z\cdot z\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z} &=(z\cdot z)\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\\end{array}}\\=((\cos \theta +i\sin \theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos \theta \cdot \cos \theta +\cos \theta \cdot (i\sin \theta )+(i\sin \theta )\cdot \cos \theta +(i\sin \theta )\cdot (i\sin \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos \theta \cos \theta +i\cos \theta \sin \theta +i\sin \theta \cos \theta +i^{2}\sin \theta \sin \theta )\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta )+i(\cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos(\theta +\theta )+i\sin(\theta +\theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta \cdot \cos \theta +\cos 2\theta \cdot (i\sin \theta )+(i\sin 2\theta )\cdot \cos \theta +(i\sin 2\theta )\cdot (i\sin \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta \cos \theta +i\cos 2\theta \sin \theta +i\sin 2\theta \cos \theta +i^{2}\sin 2\theta \sin \theta )\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta )+i(\cos 2\theta \sin \theta +\sin 2\theta \cos \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos(2\theta +\theta )+i\sin(2\theta +\theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 3\theta +i\sin 3\theta )\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )\cdot ...\cdot z\\\cdots \\=(\cos((n-1)\theta )+i\sin((n-1)\theta ))\cdot z\\=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{array}}$
證明完畢。

提示：$f(x)=\cos x+i\sin x$也叫做cis函數，容易驗證$(cis(x))^{2}=cis(2x)$。棣莫弗公式則給出了更一般的關係，即$(cis(x))^{n}=cis(nx)$。

相關例題1： 已知i是虛數單位，請利用複數三角形式的乘法法則$r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})\cdot r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}))$簡化上述棣莫弗公式的證明。（如果已學過數學歸納法，可以嘗試改寫為使用數學歸納法論證。）

相關例題2： 已知i是虛數單位，使用棣莫弗公式驗證任意非零複數z的n次方根公式：
$r^{\frac {1}{n}}(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}})\quad (k\in \mathbb {Z} ,0\leq k\leq n-1)$

相關例題3： 已知i是虛數單位，$z^{n}=\cos nx-i\sin nx$，求z的表達式。

相關例題4： 已知i是虛數單位，以及用三角形式表示的2個複數$\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta ),\beta =r(\cos \theta -i\sin \theta ),r>0$，再設$f(n)=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}\quad (A\neq 0,B\neq 0)$，求證f(n)可以表示成$r^{n}(C\cos n\theta +D\sin n\theta )\quad (C,D\in \mathbb {R} )$的形式。（出自：對二階常系數線性遞推數列的一般解的代數變形。）

證明：
${\begin{array}{l}f(n)=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}\\=A(r(\cos \theta +i\sin \theta ))^{n}+B(r(\cos \theta -i\sin \theta ))^{n}\\=Ar^{n}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+Br^{n}(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\\=Ar^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )+Br^{n}(\cos(-\theta )+i\sin(-\theta ))^{n}\\=Ar^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )+Br^{n}(\cos(-n\theta )+i\sin(-n\theta ))\\=Ar^{n}\cos n\theta +Air^{n}\sin n\theta )+Br^{n}\cos(-n\theta )+Bir^{n}\sin(-n\theta )\\=(Ar^{n}\cos n\theta +Br^{n}\cos(-n\theta ))+(Air^{n}\sin n\theta )+Bir^{n}\sin(-n\theta ))\\=(Ar^{n}\cos n\theta +Br^{n}\cos n\theta )+(Air^{n}\sin n\theta )-Bir^{n}\sin n\theta )\\=(A+B)r^{n}\cos n\theta +(A-B)ir^{n}\sin n\theta \\=r^{n}((A+B)\cos n\theta +(A-B)i\sin n\theta )\end{array}}$
記C = (A+B), D = (A-B)，則上式可以進一步化簡為：
$f(n)=r^{n}(C\cos n\theta +Di\sin n\theta )$
這就是題目中要求證的形式。證明完畢。

相關例題5： 已知i是虛數單位，求證：複數數列$\{(1+i)^{n}+(1-i)^{n}\}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$每一項的取值都是整數。
（提示：為利用到棣莫弗公式，應該先將$1\pm i$分別寫成複數的三角形式${\sqrt {2}}(\cos {\frac {\pi }{4}}+i\sin {\frac {\pi }{4}})$，通項的最終化簡結果為$a_{n}=({\sqrt {2}})^{n}(C\cos {\frac {n\pi }{4}}+D\sin {\frac {n\pi }{4}})\quad (C,D\in \mathbb {R} )$。）

為避免牽扯到較多的微積分學知識，我們直接空降出下列更著名的關係：

下列關係式給出了虛指數的取值定義，叫做歐拉公式（Euler's formula）：
$e^{xi}=\cos x+i\sin x$

歐拉公式可以視作是給虛指數下了定義。它是微積分學中基於一些經驗事實的大膽假設，不能在初等數學的範圍內給予嚴格證明。更進一步地，可以規定復指數的如下運算法則：

人為規定以自然常數e為底數、複數$z=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )$為指數的復指數滿足以下法則：
$e^{z}:=e^{a+bi}=e^{a}\cdot e^{bi}$

易知復指數可以分解為作為實數的模$|e^{z}|=e^{a}$與單位複數$e^{bi}\quad (b\in \mathbb {R} )$的乘積。這種分解方法很有用，能夠直接看出複數的模和幅角主值的大小，也便於觀察出複數乘法與復指數乘法之間的聯繫。

知識背景：這種將一個量分解為長度與另一部分乘積的做法可以推廣到復系數的向量，而且在其它數學分支中也有應用。例如對實系數或復系數的矩陣或無窮維的矩陣（或者叫算子）也都可以定義類似的操作，叫做對矩陣或算子的極分解。

由歐拉公式與復指數的定義，可以得到以下結論：

• $\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} )$
• $\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} )$
• 歐拉恆等式：$e^{\pi i}+1=0$
• 復指數函數$e^{z}\quad (z\in \mathbb {C} )$是周期函數。

由於歐拉恆等式把5個最基本的數學常數簡潔地連繫起來，所以被美國物理學家理查德·費曼形容為「數學中最引人矚目的公式」。

利用三角函數與復指數的轉換，每一個複數可以表示為如下的指數形式（exponential form）：
$z=re^{\theta i}\quad (r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} )$
特別地，每一個非零的複數都具有唯一的指數形式。

反過來，三角函數也可以推廣到復變量的情形。復變量的三角函數脫離了單位圓的幾何束縛，直接利用復指數函數進行定義：

• $\sin z:={\frac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}\quad (z\in \mathbb {C} )$
• $\cos z:={\frac {e^{zi}+e^{-zi}}{2i}}\quad (z\in \mathbb {C} )$

提示：上述定義與實變量雙曲函數的定義非常相似，進而導致正餘弦函數在虛軸上的取值的變化規律與實軸上的雙曲函數相同。

至此，複數的4種表示方法全部出現：代數形式、向量形式、三角形式、指數形式。

相關例題6： 普通正弦函數的下列性質在定義域拓展到複數範圍後，哪些仍然能夠成立？對其中成立的給出證明，對其中不成立的給出理由說明。

(1) 奇偶性；

(2) 單調性；

(3) 周期性。

相關例題7： 舉出一個周期為虛數的函數的例子。

相關例題8： 舉例說明$|\sin z|\leq 1\quad (z\in \mathbb {C} )$在複數範圍內一般不成立。（更一般地說，三角函數的有界性在複數範圍內都不再成立。）

常見結論與常見模型

數形結合問題

許多非代數計算的問題，優先從幾何角度考慮，能較快得到思路。

相關例題： 已知i為虛數單位，複數z的模為2，求|z - i|的最大值。
（出自：1992年中國大陸高考理科數學試卷第15題。）

補充習題

外部連結

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棣莫弗公式

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歐拉公式

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歐拉恆等式