# 高中數學/向量與複數/複數與三角學

## 基礎知識

### 知識引入

${\displaystyle z=|z|\cdot {\frac {z}{|z|}}=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )}$

### 複數的三角形式

${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\quad (r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} )}$

• 2個複數的實數與虛部對應相等。
• 2個非零複數的模與幅角主值對應相等。

${\displaystyle Arg(z)=atan2(Im(z),Re(z))=\left\{{\begin{array}{l}{\frac {Im(z)}{Re(z)}}&(Re(z)\neq 0)\\0&(Re(z)=0)\end{array}}\right.}$

(1) ${\displaystyle r(-\cos \theta +i\sin \theta )}$[3]
(2) ${\displaystyle r(-\cos \theta -i\sin \theta )}$[3]
(3) ${\displaystyle r(\cos \theta -i\sin \theta )}$[3]
(4) -4 + 4i；
(5) ${\displaystyle 2-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}i}$

(1) ${\displaystyle z+{\bar {z}}=2Re(z)}$
(2) ${\displaystyle z-{\bar {z}}=2Im(z)}$
(3) ${\displaystyle Re(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}}$[4]
(4) ${\displaystyle Re(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}}$[4]
(5) ${\displaystyle |z|^{2}=(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}$

### 複數乘法的幾何意義

(1) ${\displaystyle r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})\cdot r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}))}$
(2) ${\displaystyle {\frac {r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})}{r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}-\theta _{2}))}$

• 乘法：${\displaystyle r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})\cdot r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})=r_{1}r_{2}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2}))}$
• 除法：${\displaystyle {\frac {r_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})}{r_{2}(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}-\theta _{2}))}$

z和${\displaystyle {\bar {z}}}$分別表示從原點出發的關於實軸鏡像對稱的2個向量。它們的向量和是菱形的對角線，分布在實軸上。設z和${\displaystyle {\bar {z}}}$的幅角大小分別為${\displaystyle \theta _{z}}$${\displaystyle \theta _{\bar {z}}}$，則${\displaystyle \theta _{\bar {z}}=\theta {z}}$。將從原點出發、朝向${\displaystyle \theta _{z}}$的終邊方向的向量繞原點旋轉${\displaystyle \theta }$後，肯定會落在實軸上。所以${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}}$的結果一定為實數。不難驗證有${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}=x^{2}+y^{2}}$成立。[3]

### 複數的開方與單位根

1的每一個${\displaystyle n(n\in \mathbb {N} ^{+})}$次方根，都稱為1個n次單位根，簡稱單位根[5]

• 如果某角度為圓周角的${\displaystyle n(n\in \mathbb {N} ^{*})}$分之一，複數在複平面上繞此角度的多次旋轉具有周期性的取值。
• 1的n次方根，構成了單位圓上的n等分點，並且至少有一個根是z = 1。[3]
• 1的2n次方根，至少有一個根是z = 1。[3]

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}})\quad (k\in \mathbb {Z} ,0\leq k\leq n-1)}$

### 棣莫弗公式與歐拉公式

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\begin{array}{c}&n&\\z^{n}&=\overbrace {z\cdot z\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z} &=(z\cdot z)\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\\end{array}}\\=((\cos \theta +i\sin \theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos \theta \cdot \cos \theta +\cos \theta \cdot (i\sin \theta )+(i\sin \theta )\cdot \cos \theta +(i\sin \theta )\cdot (i\sin \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos \theta \cos \theta +i\cos \theta \sin \theta +i\sin \theta \cos \theta +i^{2}\sin \theta \sin \theta )\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta )+i(\cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos(\theta +\theta )+i\sin(\theta +\theta ))\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\cdot z\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta \cdot \cos \theta +\cos 2\theta \cdot (i\sin \theta )+(i\sin 2\theta )\cdot \cos \theta +(i\sin 2\theta )\cdot (i\sin \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 2\theta \cos \theta +i\cos 2\theta \sin \theta +i\sin 2\theta \cos \theta +i^{2}\sin 2\theta \sin \theta )\cdot z\cdot ...\cdot z\\=((\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta )+i(\cos 2\theta \sin \theta +\sin 2\theta \cos \theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos(2\theta +\theta )+i\sin(2\theta +\theta ))\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 3\theta +i\sin 3\theta )\cdot z\cdot ...\cdot z\\=(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )\cdot ...\cdot z\\\cdots \\=(\cos((n-1)\theta )+i\sin((n-1)\theta ))\cdot z\\=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{array}}}$

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}})\quad (k\in \mathbb {Z} ,0\leq k\leq n-1)}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}f(n)=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}\\=A(r(\cos \theta +i\sin \theta ))^{n}+B(r(\cos \theta -i\sin \theta ))^{n}\\=Ar^{n}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+Br^{n}(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\\=Ar^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )+Br^{n}(\cos(-\theta )+i\sin(-\theta ))^{n}\\=Ar^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )+Br^{n}(\cos(-n\theta )+i\sin(-n\theta ))\\=Ar^{n}\cos n\theta +Air^{n}\sin n\theta )+Br^{n}\cos(-n\theta )+Bir^{n}\sin(-n\theta )\\=(Ar^{n}\cos n\theta +Br^{n}\cos(-n\theta ))+(Air^{n}\sin n\theta )+Bir^{n}\sin(-n\theta ))\\=(Ar^{n}\cos n\theta +Br^{n}\cos n\theta )+(Air^{n}\sin n\theta )-Bir^{n}\sin n\theta )\\=(A+B)r^{n}\cos n\theta +(A-B)ir^{n}\sin n\theta \\=r^{n}((A+B)\cos n\theta +(A-B)i\sin n\theta )\end{array}}}$

${\displaystyle f(n)=r^{n}(C\cos n\theta +Di\sin n\theta )}$

（提示：為利用到棣莫弗公式，應該先將${\displaystyle 1\pm i}$分別寫成複數的三角形式${\displaystyle {\sqrt {2}}(\cos {\frac {\pi }{4}}+i\sin {\frac {\pi }{4}})}$，通項的最終化簡結果為${\displaystyle a_{n}=({\sqrt {2}})^{n}(C\cos {\frac {n\pi }{4}}+D\sin {\frac {n\pi }{4}})\quad (C,D\in \mathbb {R} )}$。）

${\displaystyle e^{xi}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle e^{z}:=e^{a+bi}=e^{a}\cdot e^{bi}}$

• ${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} )}$
• 歐拉恆等式：${\displaystyle e^{\pi i}+1=0}$
• 復指數函數${\displaystyle e^{z}\quad (z\in \mathbb {C} )}$是周期函數。[8]

${\displaystyle z=re^{\theta i}\quad (r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} )}$

• ${\displaystyle \sin z:={\frac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}\quad (z\in \mathbb {C} )}$
• ${\displaystyle \cos z:={\frac {e^{zi}+e^{-zi}}{2i}}\quad (z\in \mathbb {C} )}$

(1) 奇偶性；
(2) 單調性；
(3) 周期性。

## 常見結論與常見模型

### 數形結合問題

（出自：1992年中國大陸高考理科數學試卷第15題。）

## 參考資料

1. 人民教育出版社中學數學室. 第4章「數系的擴充——複數」中「研究性學習課題」部分「複數與平面向量、三角函數的聯繫」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第3冊 (選修2) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 157–158. ISBN 7-107-17448-7 （中文（中國大陸））.
2. 岑愛國. 第2講「複數及其運算的幾何意義」. (編) 沈國明 (責任編輯). 複數與多項式. 高中數學競賽專題講座 1. 中國杭州天目山路148號: 浙江大學出版社. 2007: 11. ISBN 978-7-308-05379-2 （中文（中國大陸））.
3. 孫維剛. 第2篇「高中數學各章學習指要」第2部分「高中代數」第11章「複數」. (編) 溫丹丹. 孫維剛高中數學. 名家導學系列 1. 中國北京市海淀區中關村北京大學校內: 北京大學出版社. 2005: 135–138. ISBN 7-301-08497-8 （中文（中國大陸））.
4. 岑愛國. 第1講「複數的概念與運算」. (編) 沈國明 (責任編輯). 複數與多項式. 高中數學競賽專題講座 1. 中國杭州天目山路148號: 浙江大學出版社. 2007: 1–2. ISBN 978-7-308-05379-2 （中文（中國大陸））.
5. 岑愛國. 第4講「單位根及其應用」. (編) 沈國明 (責任編輯). 複數與多項式. 高中數學競賽專題講座 1. 中國杭州天目山路148號: 浙江大學出版社. 2007: 33. ISBN 978-7-308-05379-2 （中文（中國大陸））.
6. （英文）Anna Schoening（2012年）．Section 6.5, Trigonometric Form of a Complex Number（pdf）．University of Utah
7. 蔡小雄. 第4章「用競賽策略優化高考解題」第4.1節「熟悉遞推方法」第4.1.2小節「待定係數法」. (編) 董德耀; 沈國明. 更高更妙的高中數學思想與方法 1. 中國杭州天目山路148號: 浙江大學出版社. 2009: 238. ISBN 978-7-308-06993-9 （中文（中國大陸））.
8. 鍾玉泉. 第2章「解析函數」第2節「初等解析函數」. (編) 王瑜 (策劃編輯); 丁鶴齡 (責任編輯). 複變函數論. 朱慧芳 (責任校對) 1. 中國北京市西城區德外大街4號: 高等教育出版社. 2004: 58–64. ISBN 7-04-012943-4 （中文（中國大陸））.
9. Richard Feynman; Robert B. Leighton; Matthew Sands. Algebra. The Feynman Lectures on Physics (HTML) 1. Michael A. Gottlieb (在線版製作者); Rudolf Pfeiffer (在線版製作者). 加州理工學院. 2013年 [2021年11月14日] （英語）. So there is a connection, ultimately, between algebra and geometry. We summarize with this, the most remarkable formula in mathematics: e^(iθ) = cos θ + i sin θ. This is our jewel.