讨论:三角形的五心

外心基本性质(庄坤霖)

已知：

AD=DB,BE=EC

AB⊥OD,BC⊥OE

求证：

(1)OA=OB=OC

(2)若AF=FC则OF⊥AC
∵AB线不平行BC∴中垂线会交于一点
∵△AOD≅△BOD(SAS)
∴AO=BO
∵△BOE≅△COE(SAS)
∴CO=BO∴OA=OB=OC
∵△AOF≅△COF(SSS)
∴∠OFC=∠OFA
∠OFC+∠OFA=180°
∠OFC+∠OFC=180°
2∠OFC=180°
∠OFC=90°
∠OFC=∠OFA=90°∴OF⊥AC
∴OF是AC的中垂线

海伦公式(庄坤霖)

已知：△ABC之三边长为a,b,c

$s=\frac{a+b+c}{2}$

求证：

△=$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
△=$\frac{1}{2}$*a*b*sinr
=$\frac{1}{2}ab\sqrt{1-co{s}^{2}r}$
=$\frac{1}{2}ab\sqrt{1-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}{)}^2}$
=$\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(2ab{)}^2}{(2ab{)}^2}-\frac{(a^2+b-c{)}^2}{(2ab{)}^2}}$
=$\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(2ab{)}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}{(2ab{)}^2}}$
=$\frac{1}{2}ab\frac{\sqrt{(2ab)-(a^2+b^2-c^2)}}{\sqrt{(2ab{)}^2}}$
=$\frac{1}{2}ab\frac{\sqrt{(2ab{)}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}}{2ab}$
=$\frac{1}{4}\sqrt{(2ab{)}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}$
=$\frac{1}{4}\sqrt{[2ab+a^2+b^2-c^2][2a{b}^2-a^2+b^2-c^2]}$
=$\frac{1}{4}\sqrt{[(a+b{)}^2-c^2][c^2-(a^2+b^2-2ab)]}$
=$\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)[c-(a-b)][c+(a-b)]}$
=$\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}\frac{(c-a+b)}{2}\frac{(c+a-b)}{2}}$