- 将 (1+1) 从一次方乘到四次
- 将 (x+1) 从一次方乘到四次
- 将 (a+b) 从一次方乘到四次
- 多项式
- 项
- 系数
- 次
- 元
- 杨辉三角形:
展开的系数 ![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/PascalTriangleAnimated2.gif)
设
,则函数
在
点切线斜率、微分、导数、
、
、
、
、
都代表同一个意思。
y=ƒ(x):
- 单项式的 ƒ'(x)
![{\displaystyle f(x)=ax^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f207a54ff1723f9f23cdf25a33f2fc841cadef2a)
![{\displaystyle f'(x)=anx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63dce3970121892d7b1e46664c9258bb5ffd39ea)
- axn 对 x 的微分为 anxn-1 ,请证明
- n 为 0 (即常数),则微分为 0。因为微分代表“变化”,常数没有变化。
- 除 0 之外,n 不管是正数或负数、整数或非整数都成立,
- 多项式的 ƒ'(x)
- 每个单项皆微分
- 常数项微分为 0
- 微分之应用问题
- 更多例题
- 极限存在,它的左右极限存在且相等。
- 函数在一点可导的条件是:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。
- dy=ƒ'(x) dx 即 ƒ'(x) 曲线与
轴所夹的微小面积。
- 原函数 ƒ(x)=0 时,x 值称为方程式的根。此处为函数图形与
轴之交点。
- 函数 ƒ(x) 与其导数函数 ƒ'(x) 的关系:
- 函数的转弯处 → 斜率为 0,ƒ'(x) 为 0 处,ƒ(x) 有极大值或极小值,斜率由正转负时有极大值,斜率由负转正时有极小值。
- 一系列的函数 ƒ(x) + C ,有相同的导函数 ƒ'(x) 。
适用所有可微分的方程式。
法则 | 表示式 | 简记 | 口诀 |
常数微分 | ![{\displaystyle {\frac {d\,C}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c792049664416aee1afba05ab17882fe87488f52) | 常数'=0 | 常数微分为零 |
常系数微分 | ![{\displaystyle {\frac {d\,(C\times f(x))}{dx}}=C\times {\frac {d\,(f(x))}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03507b98f32726ae9444eb42ae4cbeb068f351dc) | (Cƒ(x))'=Cƒ'(x) | 常系数可提出 |
乘积法则 | ![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\,(f(x)\times g(x))}{dx}}&={\frac {d\,(f(x))}{dx}}\times g(x)+f(x)\times {\frac {d\,(g(x))}{dx}}\\&=f'(x)\times g(x)+f(x)\times g'(x)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a829fd9aab98613271305a152cad2f89fc1a32b) | (fg)'=f'g+fg' | 前导后不导 +前不导后导 |
链式法则 | 或 ![{\displaystyle d\,(f(x))=d\,(f(x))\times {\frac {d\,(g(x))}{d\,(g(x))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33c792418d916abc4043f9af28d024d70be6893) | ![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df630a1b5f6f6e6dd63efc34d879b4667ba1be41) | 分子分母同乘d(g(x)) |
- 零次:
,![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Mplwp_polynomialdeg0.svg/150px-Mplwp_polynomialdeg0.svg.png)
- 一次:
,![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Mplwp_polynomialdeg1.svg/150px-Mplwp_polynomialdeg1.svg.png)
- 二次:
,
,更多抛物线图形
- 三次:
,![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Mplwp_polynomialdeg3.svg/150px-Mplwp_polynomialdeg3.svg.png)
- 四次:
,![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Mplwp_polynomialdeg4.svg/150px-Mplwp_polynomialdeg4.svg.png)
- 五次:
,![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Mplwp_polynomialdeg5.svg/150px-Mplwp_polynomialdeg5.svg.png)
由乘法公式
,可以对任意一元二次方程式
进行配方,而以上的公式解也是由配方法推导出来的,推导过程如下:
时右侧斜向上,抛物线开口向上
,有极小值
时右侧斜向下,抛物线开口向下
,有极大值
或
时有极大值或极小值 ![{\displaystyle c-{\frac {b^{2}}{4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e4c2cb1a99257fb886b69889437d17adc85d1a)
(即图形交
)时为两根
设一元二次方程式
的解为
和
,则有以下关系式:
![{\displaystyle w+z=-{\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb76facfa4843c0605612d92a042a9d83b690d3a)
![{\displaystyle wz={\frac {c}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f057a86b1508065eee9980bbd035895a6f995b46)
这两个公式由设
和
为符合一元二次方程式公式解的写法来求出。
![{\displaystyle x^{2}=16}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f25d7646e3f66075a4beae08bcf088a9e070d4)
![{\displaystyle x^{2}-x=30}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cad708dff01c6b4ed3453733db35b9e749d892)
![{\displaystyle 4x^{2}+4x+4=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62cb9a2cda3fb603f3d06e4f7a630f5fedf07ca)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/Completing_the_square.gif)
| 令 a=1,C=-c
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Completing_the_square_2.svg/200px-Completing_the_square_2.svg.png) |