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多项式的微积分

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先备练习

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  1. 将 (1+1) 从一次方乘到四次
  2. 将 (x+1) 从一次方乘到四次
  3. 将 (a+b) 从一次方乘到四次
  • 多项式
    1. 系数
  • 杨辉三角形: 展开的系数

切线斜率、微分、导数

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,则函数 点切线斜率、微分、导数、 都代表同一个意思。

一元多次方程式的微分

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微分的方法

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y=ƒ(x):

  • 单项式的 ƒ'(x)
    1. axn 对 x 的微分为 anxn-1 ,请证明
    2. n 为 0 (即常数),则微分为 0。因为微分代表“变化”,常数没有变化。
    3. 除 0 之外,n 不管是正数或负数、整数或非整数都成立,
  • 多项式的 ƒ'(x)
    1. 每个单项皆微分
    2. 常数项微分为 0
  • 微分之应用问题
  • 更多例题

与微分的相关的性质

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  • 极限存在,它的左右极限存在且相等。
  • 函数在一点可导的条件是:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。
  • dy=ƒ'(x) dx 即 ƒ'(x) 曲线与 轴所夹的微小面积。
长条面积总和
函数 y = x2 的上长条总和
函数 y = x2 的下长条总和
  • 原函数 ƒ(x)=0 时,x 值称为方程式的根。此处为函数图形与 轴之交点。
  • 函数 ƒ(x) 与其导数函数 ƒ'(x) 的关系:
    1. 函数的转弯处 → 斜率为 0,ƒ'(x) 为 0 处,ƒ(x) 有极大值或极小值,斜率由正转负时有极大值,斜率由负转正时有极小值。
    2. 一系列的函数 ƒ(x) + C ,有相同的导函数 ƒ'(x) 。

适用所有可微分的方程式。

法则表示式简记口诀
常数微分常数'=0常数微分为零
常系数微分(Cƒ(x))'=Cƒ'(x)常系数可提出
乘积法则(fg)'=f'g+fg'前导后不导
+前不导后导
链式法则分子分母同乘d(g(x))

多项式的图形

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  1. 零次:
  2. 一次:
  3. 二次:更多抛物线图形
  4. 三次:
  5. 四次:
  6. 五次:

一元二次方程式的配方法

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由乘法公式 ,可以对任意一元二次方程式 进行配方,而以上的公式解也是由配方法推导出来的,推导过程如下:

推导过程一:求函数值

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函数值与图形的关系
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  1. 时右侧斜向上,抛物线开口向上,有极小值
  2. 时右侧斜向下,抛物线开口向下,有极大值
  3. 时有极大值或极小值
  4. (即图形交 )时为两根

推导过程二:求根

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根与系数的关系
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设一元二次方程式 的解为 ,则有以下关系式:

这两个公式由设 为符合一元二次方程式公式解的写法来求出。

基本例题

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答案

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1.

2.

3.

  • (重根)


配方法的图解

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令 a=1,C=-c